非自治系统的poincare映射可以采用截面法吗

chunshui2003

之前看的书和帖子给的建议为：自治系统采用截面法；非自治系统采用频闪法。
由于频闪法得到结果不理想，所以想尝试一下截面法。在网上找到了一个“单摆方程”的自治系统截面法程序，但有一些疑惑：

function dx=pendulum(t,x)
% 单摆方程[不显含时间t的自治系统]                             %感觉这不是单摆方程，另外，有t的出现为什么还称之为自治系统，是不是写错了，实际上应该为非自治系统
% 方程如下:
% dθ/dt=ω,
% dω/dt=-2*β*[dθ/dt]-ω^2*sin(θ)+F*cos(vt)
% dψ/dt=v
betaa=0.25;
F=1.093;
v=2/3;
P2=-2*betaa*x(2)-x(2).^2.*sin(x(1))+F*cos(v*t);
dx=[x(2);P2;v];



% Poincare_section[绘制庞加莱截面图]
tic
clc
clear
[t,x]=ode45(@pendulum,[0,2800],[0,1.5,0]);
x(:,2)=mod(x(:,2),2*pi)-pi;
phi0=pi*2/3; % 选择phi=2*pi/3这个截面                       %截面的选取有一些规则，这个我知道，但phi=2*pi/3是否同方程中的“v”有一定关系。对于类似的系统，截面该如何选取较为合适。
for k=1:round(max(x(:,3))/2/pi);
d=x(:,3)-(k-1)*2*pi-phi0;                                              %为什么要选择x(:,3)作为基准量(也不知道该如何称呼，看到后续的拟合都和它有关，所以这样叫) ，是因为映射图是由X1和X2构成的缘故吗？如果按此假设，如映射图由X1和X3构成，那么基准量是否应该选择x(:,2)。另外，如果微分方程中有8个未知量，只需要绘制y1和y3的映射图，那么应该选择剩下6个未知量中的哪一个作为基准量呢？
[P,K]=sort(abs(d));
x1l=x(K(1),1);
x1r=x(K(2),1);
x2l=x(K(1),2);
x2r=x(K(2),2);
x3l=x(K(1),3);
x3r=x(K(2),3);
if abs(P(1))+abs(P(2))<3e-16;                                      % 这里的误差限制是根据什么得到的
X1(k)=x1l;
X2(k)=x2l;
else
Q=polyfit([x3l,x3r],[x1l,x1r],1);
X1(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
Q=polyfit([x3l,x3r],[x2l,x2r],1);
X2(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
end
end
plot(X1,X2,'.');
xlabel('\theta','fontsize',14);
ylabel('d\theta/dt','fontsize',14);
toc

红色字体部分是我的疑惑

之前一直在用频闪法(实际上是特殊情况的截面法)，所以对截面法的概念不太理解。尽管看了书和文献，但一些问题还不是很清楚，希望大家给予解释。

octopussheng

非自治系统可转换为自治系统，用截面法取点。

chunshui2003

回复 2 # octopussheng 的帖子

感谢学长，之前也这么想了一下。我还需要再看看自治系统的截面的理论。