单自由度Mathieu equation的稳定性问题

ttwwooblueyes

对于一个单自由度的参数激振系统，方程如下


d^2y/dt^2+(k-pcoswt)y=0


该方程也被称作无阻尼的Mathieu‘s equation。其解的稳定性有k和p决定。k和p在Ince-Strutt Diagram中把平面分成了稳定域和非稳定域。


与此同时，对于一个参振系统，当激励频率w等于2倍的系统固有频率的时候，会引起主参数共振（变现为解中出现secular项，类似失稳）。


在下的问题是，如果调整k和p，使系统的解处于稳定区域，再调整激励频率，使w等于2倍的系统固有频率，系统是否会发生共振？本质上是为什么？

[ 本帖最后由 无水1324 于 2009-6-21 17:21 编辑 ]

nonlinear

这是不是一个稳定性和共振的区别？

ttwwooblueyes

说的很对。我就是想问这样一个问题。

非常对不起，我帖子中有些地方说的不准确。该Mathieu‘s equation的解的稳定性应该由k，p和w共同决定。k，p和w在Ince-Strutt Diagram中确定成了稳定域和非稳定域。如果系统的参数落在Ince-Strutt Diagram的稳定域的话（不考虑阻尼影响），应该是不会有共振发生的，因为稳定域在横轴上没有对应任何共振点。

但是如果我们考虑共振情况（不妨假设为主参数共振，w=2*sqrt(k)），在不考虑阻尼时，系统应该一定为非稳定（从Ince-Strutt Diagram可以看出）。所以我做了如下尝试，系统：d^2y/dt^2+(k-pcos(2*sqrt(k)*t))*y=0,保持p不变，改变k，发现k较小时，系统失稳；k较大时，系统反而近似收敛。为什么呢？

nonlinear

我对非线性振动不是很了解，在讨论中，向您学习一些非线性的知识。

根据振动方程：d^2y/dt^2+(k-pcos(2*sqrt(k)*t))*y=0
我觉得pcos(2*sqrt(k)*t)项可以认为是对系统刚度k的一个修正值。当系统原刚度较大时候，即k较大，因为pcos(2*sqrt(k)*t)项，其值取决于p，cos项只是一个相位问题，所以此时对刚度的修正影响不大，系统总的刚度仍然是正值。反之，当p较大时，就可以在某些时间段内，使得系统修正后的总刚度为负值（这在线性结构稳定性中，是一个临界点，根据这个临界点，往往可以求得系统的外界输入），从未使得系统失稳。

基于以上讨论，我觉得，即使对于非线性系统，系统的稳定性和共振仍然是有区别的。共振是在稳定的前提下讨论才有意义。一个不稳定的系统，我们为什么还要去讨论它是否共振的？

个人意见，仅供参考。

ttwwooblueyes

谢谢您的回复。

可以把pcos(2*sqrt(k)*t)项理解为对系统刚度k的一个修正值。但是该项并不包含相位信息，主要的影响是参数激励频率（此处已经为固有频率2倍，即主参数共振情况）。在仿真中，我取k=16，p=1（即如您所说，系统修正后的总刚度必为正值），系统仍然失稳。即我认为稳定性和动态刚度的正负似乎没有直接关系。

关于对共振的看法，从mathieu equation的角度看，如果不考虑阻尼，共振即引起失稳，不共振即稳定。如果考虑阻尼，我同意您的看法，失稳必然由共振引起，稳定域内也存在共振，但是会被阻尼消耗掉。

nonlinear

恩，谢谢您的指正。

再次说明了线性问题和非线性问题还是具有本质差别的。

那您认为不考虑阻尼时，共振即引起失稳，不共振即稳定的内在原因是什么呢？

ttwwooblueyes

请参阅这个链接
http://www.enm.bris.ac.uk/teachi ... tric_Resonance.html

是一个无阻尼的参振例子（受垂直方向激励的单摆），给出了描述其稳定性 的Ince-Strutt diagram。从该图表中可以看出，每个失稳区域都是由一个共振点（边界线与alpha轴的交点）引起的。只不过当beta大于0时，引起失稳（共振）的是一个频率范围，而并非一个频率值。所以说，对于无阻尼的mathieu equation，失稳均由共振引起。