恳求：此方程组是否有极限环，或分岔或混沌条件

meicyeve

dx1/dt=x1*(r1-a11*x1-a12*x2)
dx2/dt=x2*(r2-a21*x1-a22*x2)
其中，参数r1,r2,a11,a12,a21,a22可变，想知道这些参数组合什么条件下，有极限环（告知求解方法即可）。此方程组可能混沌么，混沌的条件又怎么求呢？由于本人刚接触混沌这方面，很多术语名词用的很不规范，请见谅。我的目的就是求出上述方程组在什么条件下其相图是极限环，什么条件下，相图就出现混沌了。
这里谢谢各位高人，不知道用什么言语来表达了

空山长风

MELNIKOV方法可以证明
平面自治系统没有混沌

meicyeve

十分感谢，继续学习中

小菜

可以先看看北航陆启韶的《常微分方程的定性方法和分叉》
刘曾荣的《混沌的微扰判据》（挺难的）
刘崇新的《非线性电路理论及应用》（刚出版不久）
还有几本国外的，有翻译本，比较贵，估计在五六十元一本

小菜

连续自治系统要出现混沌的必要条件是三维，且有正的Lyapunov指数，所以很多人在找各种方法和程序求Lyapunov指数。

meicyeve

多谢楼上这位高人指点，我也看到类似参考书，有人作出了此三维自治系统的相图，能够出现多周期和混沌，所以特将原帖改成三维系统。麻烦各位高人再指点一下。
dx1/dt=x1*(r1-a11*x1-a12*x2-a13*x3)
dx2/dt=x2*(r2-a21*x1-a22*x2-a23*x3)
dx3/dt=x3*(r3-a31*x1-a32*x2-a33*x3)
其中，参数r1,r2,r3,a11,aij可变，请问用什么理论或方法可以求出此系统出现极限环的条件以及出现混沌的条件
我看到参考书有人画出了此系统的三维混沌轨迹图。他给的条件是：
r1=1.1,r2=-0.5,r3=0.1+a31
aij=
0.5   0.5    0.1
-0.5 -0.1  0.1
a31    0    0.1
当a31=1.2时，上述方程组系统相图出现一周期，
a31=1.32时，上述方程组系统相图出现2周期，
a31=1.835时，系统相图出现4周期，
a31=1.43时，系统相图表现出混沌.
我试着用Matlab对上述方程组进行仿真，取a31=1.2，作出相图，怎么也做不出一周期的极限环，请问问题是否出在初值的选取

f= @(t,x,a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33)[x(1)*(1.1-a11*x(1)-a12*x(2)-a13*x(3));
x(2)*(-0.5-a21*x(1)-a22*x(2)-a23*x(3));
x(3)*(1.3-a31*x(1)-a32*x(2)-a33*x(3))];
t_final=100;x0=[2;3;2];
a11=0.5;a12=0.5;a13=0.1;
a21=-0.5;a22=-0.1;a23=0.1;
a31=1.2;a32=0;a33=0.1;
options=odeset; options.RelTol=1e-6;
[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0,options,a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33);
plot(t,x),figure;
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));

[ 本帖最后由 meicyeve 于 2009-4-29 15:08 编辑 ]