混沌中的不动点

zhuxiaoxun · 发表于 2009-3-19 22:19

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请问有哪位知道混沌中的不动点是什么意思？
包括排斥不动点和吸引不动点？

zhuxiaoxun · 发表于 2009-3-20 08:33

解决了！呵呵。

zhuxiaoxun · 发表于 2009-3-20 08:34

定义：　函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点。

zhuxiaoxun · 发表于 2009-3-20 08:35

举例：取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。
　　通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。
　　纸被揉成球以后，看它现在投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。（因为整个底板对应于整个纸团，那么地板的一部分就肯定对应于一部分纸团）
　　假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。（因为它是在整个纸团之内）。那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。
　　就是说：
　　整个纸盒对应于纸团
　　纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块
　　纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块
　　纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块
　　…………………………
　　不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。

zhuxiaoxun · 发表于 2009-3-20 08:35

函数不动点：例如，定义在实数上的函数f，
　　f(x) = x^2 − 3x + 4，
　　则2是函数f的一个不动点，因为f(2) = 2。
　　也不是每一个函数都具有不动点。例如f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。用画图的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y = x上，或者换句话说，函数f的图像与那根直线有共点。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。

zhuxiaoxun · 发表于 2009-3-20 08:35

不动点原理：动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或巴拿赫（Banach）不动点定理，完整的表达：完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x 不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。假设X是拓扑空间， f:X→X是一个连续映射，且存在x∈X，使得f(x)=x, 就称x是不动点。

zhuxiaoxun · 发表于 2009-3-20 08:36

不动点应用：
1 利用f(x)的不动点解方程（牛顿切线法）
　　2 利用f(x)的不动点求函数或多项式的解析式
　　3 利用f(x)的不动点讨论n-周期点问题
　　4 求解数列问题（求解一阶递归数列的通项公式）
　　5 求解一阶递归数列的极限

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[人工智能] 混沌中的不动点

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