为何两个乘积的绝对值的傅立叶变换就是它们谱的卷积？

tianyoume

为何两个乘法的绝对值的傅立叶变换就成为它们谱卷积？例如，|cos(x1)|X|cos(x2)|:F1*F2，F1,F2分别是cos(x1)，cos(x2)的谱。

破凰

有关信号方面的书都有此证明

tianyoume

有此证明就行了。多谢

yangzj

这个不成立吧。没加绝对值才成立

eight

原帖由 yangzj 于 2007-9-14 22:19 发表
这个不成立吧。没加绝对值才成立

恩，没有绝对值的，这是Fourier变换中的卷积定理

songzy41

yangjz说得对，应该是‘两个乘积的傅立叶变换等于它们傅立叶变换的卷积“（循环卷积），这是DFT的基本性质之一。

tianyoume

加了绝对值应该与没加绝对值有所区别，但不知区别在哪里？

破凰

开始看错了，不好意思哈。
后面作卷积时也加个绝对值就对了。

tianyoume

客气了

yangzj

原帖由 tianyoume 于 2007-9-15 09:28 发表
加了绝对值应该与没加绝对值有所区别，但不知区别在哪里？

从最简单的谐波信号 cos(2*pi*f*t+ph)来说，没加绝对值在频域就只在f处有值，但加了绝对值后就变成一个基频为2*f的周期信号，频域在2*f,4*f,6*f,...处都有值（也许在部分频率处为0，可根傅立叶变换的公式进行推导。
两个信号的绝对值相乘的变换，可先分别求出两信号取绝对值后的频谱，再按卷积定理求出结果。但也不是简单的把两信号取傅立叶变换后取模再卷积，因为取绝对值并不是一个线性变化。

tianyoume

多谢

w89986581

好象还是不对,赞同yangzj的说法.

tianyoume

加了绝对值，使原函数（如不具有偶数性质）具有了偶数性质，那么反映在频谱上就有此特性，如果原函数本来具有偶数性质，那么加不加绝对值对其频谱没影响。不知这个解释是否符合逻辑？

破凰

对，yangjz说的对。
取绝对值后的情况很复杂，应该与原信号的频谱没有直接关系

破凰

只有奇函数加绝对值后才会使该函数变为偶函数。
一个初相位为零的余弦函数就是典型的偶函数，但是加了绝对值后就变成周期为原信号的一半的周期信号。所以你这个解释不对。