[讨论]计算力学方法讨论

yejet

根据校长的提议，

我考虑了一下本版打算按照主题的内容划分

划分为：数学模型 有限元法 有限差分法 边界元法 有限体积法 无网格法 加权余量法 其他方法

是否合理，请大家见教，有什么意见请在本贴后回复

本话题投票有效期1周

yejet

希望大家多多支持发表自己的观点，谢谢

jeffjuju

数值流形法？

jeffjuju

说一些我自己的看法吧，因为最近刚好在上我们系老师的计算方法这门课，提到了各种不同的计算方法，个人认为他讲得非常清晰，所以我粗略的把一些版主上面有些混淆的东西写出来，给版主作参考。

1。从大方向看，计算方法按照近似方法的不同分为以下几种：
有限差分FDM
有限元FEM---发展出很多其他方法，后面再说
边界型解法BSM(版主这里如果写成边界元法BEM就不是很恰当)
加权残量法WRM

当然，如果从其他角度，也有不同的分类方法。

2。对于有限元法：
（1）根据插值函数的不同， 又可划分为：
常规有限元
有理有限元
样条有限元
Trefftz有限元
有限条法
无限单元法
奇异元
等等
（2）根据节点变量的不同，又可划分为：
流形方法---这里，流形方法又有两个发展方向：一个是数值流形法，还有一个才是无网格法（这点是我个人觉得版主需要在主题上修改一下的）
有理有限元法
（3）根据变分原理的不同，又可以划分为：
基于最小势能的有限元
基于最小余能的有限元
基于修正的最小势能的有限元
基于修正的最小余能的有限元
等等

3。现在我来解释为什么我刚才没有说边界元法，而是说边界型解法
边界型解法有两个方向：
（1）常规边界元法BEM
1978年C.A.Brebbia在 South Ampton Univ.第一届边界元会议上正式命名BEM这种方法
当然，我国数学家冯康也提出了自然边界元法

这种方法是取点源函数的基本解作为权函数的。而至今也未能证明常规边界元法的弱解是唯一的。

（2）Trefftz边界方法
1926年Trefftz提出Trefftz Indirect Method(TIM)即Trefftz直接解法
而后80年代，偶们系的这位老师W.G.Jin和他的导师Y.K.Cheung以及 O.C.Zienkienicz提出了Trefftz Direct Method(TDM)

这种方法是取齐次方程的完备解作为权函数的。而该种方法是严格数学证明了弱解唯一存在的。
（3）因此我觉得版主可以增加Trefftz方法这一主题，因为Trefftz不仅有边界元法，还有Trefftz有限元法等等。目前流行的还有Qinghua Qin提出的Hybrid Trefftz FEM.

---以上是我的一些看法，也包括金老师上课的一些笔记，希望对版主有所帮助。

frogfish

能否介绍一下数值流形和无网格法有什么区别？

jeffjuju

（1）两种都是用拟合的思想，区别于有限元中的插值思想

（2）数值流形变化的是节点函数，它把节点函数（待求值）用一个函数去拟合

无网格变化的是形函数，他把形函数用一个最小二乘意义表示出来

（3）个人认为这两种放在在描述上都非常玄妙，一个用流形覆盖，一个不需要网格，然

而抛开现象，看本质，会发现它们仍然不可避免的变化试函数，而在之前我写的文章中，

可以变化的不仅仅有试函数，还有权函数也可以变化的。

Laurance

关于边界型解法，纠正和补充几点：
1）边界元方法。
边界元方法采用基本解作为权函数，而这一本质使得以基本解作为权函数的很多边界型解法都归到了边界元方法这一大类中。最基本的边界元方法分为直接法和间接法，一种是从Green公式得到积分方程，一种是从加权残量法得到积分方程，目前广泛应用和研究的是直接法，由于边界元的直接法也可以比较方便的求出域内任意点的函数值，所以比间接法确实存在优势。在边界元的发展中，中国和国外都发展的很不错，冯康所提出的由正则归化得到的自然边界元方法被证明才是真正和原问题等效的边界元法。余德浩等人在这方面做过很多工作。
从基本边界元法中衍生出来的还有很多种方法，他们大多是补足边界元法中的某些缺陷或是拓展边界元法的应用而诞生的，比如我看到过的虚边界元法，域外奇点法，样条边界元法，双重边界元法，无单元边界元法，无奇异边界元法，非连续边界元法等等。这些方法在各自适用的领域都很不错。
（2）Trefftz方法
相对于使用基本解的边界元法，使用完备解作为权函数的Trefftz边界型解法是另一大类边界型方法。Trefftz方法同样分为直接法和间接法。这里纠正juju的错误，Trefftz提出的是间接法，最早用于解位势问题。巧合的是，Trefftz法和边界元法都是先有间接法，再有直接法的，Trefftz直接法是由金吾根（复旦大学），张佑启（香港大学）于1989年提出来的。Trefftz方法和边界元法相比最大的优势就是很方便的解决了边界积分的奇性问题，虽然现在边界元法已经发展出来很多解决奇性的办法，但是对于不同的问题，积分的奇性，尤其是高阶奇性解决起来还是有一些困难或者不便的。Trefftz方法的发展在国外正在逐渐受到重视，但国内相关研究却很少。juju在上文中提到的Hybrid Trefftz Finite Element method( Trefftz 杂交元法）也是在Trefftz领域内一个很有潜力的方向（再纠正个错误，Trefftz有限元就是Trefftz杂交元，嘻嘻）。Trefftz方法由于其简单性和对无界问题的优越性，被Ansys软件融合在电磁场模块中得到工程应用。相信数年后Trefftz方法将像20多年前在有限元王国里异军突起的边界元法一样，得到普遍的关注和应用。

jeffjuju

对于间接法，那节课是Dr.Wan讲的，说得不是很清楚，然后你老板就说：嗯，没上过Trefftz的理解起来会比较难，所以我就无情的被bs了，到现在对于直接法和间接法都不是很明白，但是我总觉得之前我们讨论的直接边界元和间接边界元有问题，只是我一直没空好好想想这个东西，老板催得太紧，郁闷。

christy

有限体积法属于加权剩余法中的子区域法，有限体积法（FVM）又称为控制体积法。 其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。
有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法的主要优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（即插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。

关于专题的话划分，建议分为“数学模型、边界元法、有限差分法、有限元法和加权残数法”就够了

Laurance

再加个“其它方法”也不错[em01]

jeffjuju

1？你那两篇应该都可以加威望的哦，写得多好呀

yejet

呵呵，欢迎多发好文章，失敬了，原来是金老师的学生

daxia

怎么没有双互异边界元啊

qwjun2004

当然是划分的越细越好了,但是斑竹的工作量是不是就大了呢

wanyeqing2003

我觉得板块不宜过细。不然浏览和参与讨论不方便。