请高手帮我解释下我用Matlab画的这两个混沌现象的图？

wh1125

请高手帮忙：怎么用非线性理论解释这两幅图啊？解释这两种现象，两个有区别啊，联系之类的（我没学过非线性这方面的知识）
摆角一个是差不多180度的位置，一个差不多360度位置。

wh1125

第一个图时间取的是20秒，取10秒可以从图中看出在每一个峰值位置是都是偏向平坦化的。也帮忙解释下为什么出现平坦化的？

咕噜噜

你用什么方法做的，解析解法还是数值解法？
楼主你的图表明你的系统并未出现混沌现象，应该只是一般的非线性现象
至于为什么会这样需要你把你的系统模型，至少系统运动微分方程贴上来，只是一个图不能说明什么

wh1125

微分方程：x''+9.8x'=0(这里x指单摆的角位移) 初始条件是先前要输入的一个初始角度（比如图1中的3.1404rad，图2中的6.2832rad），在0时刻：角位移x(0)=3.1404(或第二个图中的6.2832)，角速度x'(0)=0
我用ode23求的数值解。
我这个不是混沌现象吗？？怎么我对第二个图6.2832rad初始角度改变0.001，画出来的振动曲线和相图发生很大变化，这不是混沌里面的初值敏感性吗？我对混沌不懂，帮忙解释解释啊！

咕噜噜

很抱歉的说，楼主，如果是单摆，你对单摆运动微分方程的理解可能是错误的，只有小摆角（通常按照小于5度说）才能简化为你给的形式，单摆尤其是大摆角单摆的话，sin(θ)是不能简化为θ的形式的，用解析解法目前较多的是将sin(θ)用级数展开，再用椭圆函数求解，或者用目前一种叫做何吉欢法近似求解
目前求界单摆问题较多的是用能量法，或者数值解法，当然这主要是用于单摆稳定性求解，如果你要求单摆运动轨道（角位移响应），建议用近似解析解法
至于你说得对于初值的敏感性我不敢说什么，因为相图有时候是看不出来浑沌的，你做出来得敏感性我觉得不是混沌的敏感性，因为你所依据的运动微分方程本身就不是非线性微分方程，而你所选取的角度也太不合理，太大了

[ 本帖最后由 咕噜噜 于 2007-6-10 11:09 编辑 ]

wh1125

不好意思，我写错了！
我是物理出身，对这个还是知道的。但没学过非线性理论，所以对混沌现象几乎是一无所知。
微分方程是：x''+9.8sinx=0

这两个角度是在把单摆拉到差不多水平位置（左边就是180度附近，另一个360度附近），这个大角度单摆连接小球肯定是用的质量可忽略的刚性细杆，所以这个角度不存在太不合理的问题啦，很实际的问题啊。

单摆发生混沌现象不就是在这样的水平极限位置才有吗？才有初值敏感性吗？在一般的大角度比如75度也会有混沌现象？我对这些都不明白。

我用我编写的程序，输入不同的初始单摆角度的出来的图形，只有在180度和360度附近的位置才会是很怪的，没有什么规律的。其他位置都很规则，振动曲线类型小角度的简谐振动曲线。

还有，你说相图看不出初值敏感性，那一般是根据什么来判断单摆发生了混沌现象？这些我都不明白，手头也没关于非线性理论的书。


附我写的程序：
function xd=hundun(t,x,flag,g,l)
xd=[x(2);-g/l*sin(x(1))];
％上面是微分方程

下面是主程序
g=input('重力加速度g=');
l=input('摆长l= ');
theta=input('大角度振动初位置的摆角theta=');
t_final=10;  %定义仿真终止时间
[t,x]=ode23('hundun',[0,t_final],[theta;0],[],g,l);  %求解出大角度振动的时间向量t及与t对应的状态向量x
subplot(121);plot(t,x(:,1));  %在图像窗口分配绘图区域并绘制大角度振动的摆角与时间的曲线
subplot(122);plot(x(:,1),x(:,2));  %在图像窗口分配绘图区域并绘制大角度振动的相图（摆角与角速度之间的曲线）

[ 本帖最后由 wh1125 于 2007-6-10 13:02 编辑 ]

咕噜噜

对于单摆而言，当角度较小时（小于45左右），无阻尼情况下会沿圆弧轨道往复运动，当大于某角度（应该在60以上，具体角度我都没有计算）时，由于系统能量较大，单摆摆锤并不能沿着圆弧轨道做往复运动，这时候是会出现浑沌现象的，而在180附近，就已经不是普通意义上的单摆了，一般是不会通过你给的运动微分方程式来计算的，通常通过能量法
你的程序没有错，应该是理解问题，其实很少有人直接用你给的式子来计算的，用的较多的还是能量法，很简单的，将二阶微分方程化为一阶，来绘出相图，和你给的相图完全是不同的，给你一张由西安联合大学学报中，王润轩先生的论文中摘出来的单摆相图（随便找得）作为参考，单摆的论文很多，建议你多找一些资料看看，并不难
你试试看用能量法计算

咕噜噜

至于相图的问题，很难说，有时候的确是很难从相图中看出浑沌来，这时候可以用旁加莱映射

wh1125

原帖由 咕噜噜 于 2007-6-10 13:59 发表

                               
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...由于系统能量较大，单摆摆锤并不能沿着圆弧轨道做往复运动，这时候是会出现浑沌现象的，而在180附近，就已经不是普通意义上的单摆了，一般是不会通过你给的运动微分方程式来计算的，通常通过能量法
你的程序没有错，应该是理解问题，其实很少有人直接用你给的式子来计算的，用的较多的还是能量法，很简单的，将二阶微分方程化为一阶，来绘出相图，和你给的相图完全是不同的 ...

受教了！不明白你所说的将二阶微分方程化为一阶来绘制相图是怎么回事？（相图的定义不就是位移与速度的关系嘛？我画的就是角位移与角速度之间的关系啊，不行的？要对角位移角速度乘上摆长画位移与速度的曲线？？这样曲线不是一样么？）我通过ode23函数来解的二阶微分方程的数值解就是将二阶化为两个一阶方程令x1=x; x2=x1' , 原微分方程x''+9.8sinx=0也就化为两个一阶的微分方程组，即 x2=x1'和x2'=-9.8sinx1来求数值解，继而后面画振动曲线和相图的啊？
你说说的将二阶化为一阶（肯定也会是两个一阶吧？）来绘制相图？是什么意思的？

[ 本帖最后由 wh1125 于 2007-6-10 15:12 编辑 ]

咕噜噜

是的，是将二阶微分方程降阶为两个一阶微分方程

wh1125

原帖由 咕噜噜 于 2007-6-10 14:57 发表
是的，是将二阶微分方程降阶为两个一阶微分方程

那你前面说的能量法，将二阶方程化为一阶是个什么东东？我这里上面那个将二阶化为两个一阶没有涉及到能量。
你的意思就是用单摆摆动过程中动能＋势能能量守恒的表达式（其中总能量是守恒量（可设为常数E），能量守恒式使用的两个变量就是相图中的两个变量，位移和速度，把这个图画出来（像椭圆）就是用能量法得到的相图？）？

[ 本帖最后由 wh1125 于 2007-6-10 18:52 编辑 ]

咕噜噜

请参考《单摆的混沌运动》，杨青勇，广西民族学院学报

VibrationMaster

这个系统不可能出现混沌，因为显示解已经给出来了

flybaly

原帖由 VibrationMaster 于 2007-6-10 21:01 发表
这个系统不可能出现混沌，因为显示解已经给出来了

完全同意

wh1125

原帖由 VibrationMaster 于 2007-6-10 21:01 发表
这个系统不可能出现混沌，因为显示解已经给出来了

哦，这样的图比如第二个，也可以看出这个振动系统是有数值解了，而混沌现象肯定是没有数值解的？

还有，也就是说我的这图只能说明忽略质量的刚性杆连接的单摆在大角度时摆动发生了非线性振动，不能说发生了混沌现象？？
我运行程序后的初始输入条件有摆长l=1m,重力加速度＝9.8m/s，初始角度＝3.1404rad或6.2832rad。
我看一些文献都说单摆在大角度振动时会发生混沌现象，那我怎么都做不出混沌的效果图呢？我上面的程序应该写的没错的啊。还是说我上面写的这几个初始输入条件不符合发生混沌现象的条件，如果输入某个合适的摆长和初始角度，用这个程序就能画出发生混沌现象的效果图呢？

[ 本帖最后由 wh1125 于 2007-6-10 22:47 编辑 ]