[分享]分形与复杂性探索

frogfish · 发表于 2005-11-12 09:26

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分形与复杂性探索 王德奎 大多数人注意的是线性变换下的自相似性，而分形理论的创始人曼德布罗特认为：“分形是非线性变换下的不变性”[1]。非线性科学家郝柏林教授也认为，复杂性的根源是非线性。研究复杂性的问题离不开非线性科学。多数非线性问题有其外在的几何表现或内在的几何表示：这里的几何学在理想情况下是具有非整数维数的分形几何学。 以本世纪80年代兴起的生物全息、宇宙全息，整体与部分普运全等相似热为例，大多数分形学家的研究已揭示：自相似性是宇宙间的一种普遍现象，但自相似性又存在尺度范围，即自相似只是在无标度区间内适用，在此范围之外通常不再是分形[2]。 可惜分形学在中国的传播奶奶来迟，并且在开始时还助长过不讲无标度区间的势头。正是在纠正我国全息论主流派人物这种倾向的交往和争论中，笔者在50年代末创立的三旋理论，迅速地得到了发展，并加入到探索复杂性的分形几何学的列行中[3]。 在我国，很多的群众和专家，只懂得欧氏几何的点、线、面、体，不懂得拓扑学之类的球面与环面不同伦，在环面上整体与部分不一定同伦的基本原理。现以拓扑学中的约当定理为例它说的是在平面上画一个因，把平面分成两部分；作圆内外两点的任一连线，都必定要与圆周线交于一点。这个定理在平面和球面上是成立的，但在环面上却不一定成立。例如沿环圈面画一个圆圈并没有把环面分成两部分，圆圈两边的点可以通过多种曲线彼此连接。这通明平面和曲面并不是本质的区别，本质的区别是在曲面中，环面和球面是不同伦的。但由于人类多数接触的是平面和球面空间，少数才是环面空间，所以对自相似复杂性的认识，理论上还需补上三旋分形学的知识。 三旋分形与复杂控的联系追求统一性，20世纪前后有两种截然不同的观点：爱因斯坦强调简单性，他说。“物理上真理的东西一定是逻辑上简单的东西，也就是说，它在基础上具有统一性”；普里高津则强调复杂性，他说：“复杂性在我们对自然的描述的各个层次上起着根本作用的认识引导我们重新考查状态和规律之间，‘存在’和‘演化’之间的关系。”他又说：“谁会料到‘基本’粒子有如此复杂的结构，弹性钟摆有和完全的混乱毫不逊色的复杂性?”自然的基本结构到底是简单还是复杂呢?如果仅停留在分形学平面空间或球面空间阶段，最好的回答不过是：在合适的条件下，简单可以走向复杂；或者在某种情况下表现为简单性的东西，在另一种情况下可以表现为复杂性。然而发展到分形学环面空间阶段，就会看到自然的基本结构既是一种简单性同时又存在着复杂性，简单性和复杂性是自然而紧密缔合的。其原因是前者并没有真正创立起分形几何学，最典型的例子是贝纳德花纹：锅中沸水心液体向四周的翻滚对流，在水加热达到临界状态时各个局部区域也会呈现类似的现象，这是耗散结构和自组织理论常举的例子；如果把这种现象上升为基础的几何学结枫反过来看自组织、耗散结构或复杂性的情况又如何如? 如果把贝纳德对流抽象缩影反映在一个点上，它类似粗实线段绕轴心转动再将两端接合的线旋；如果把它定名为不分明自·旋，那么圈体绕垂直于圈面的轴的面旋，圈体绕过圈面部的体旋，就称为分明自旋。分明与不分明自旋结合使一个类圈体变成一种三旋分形学的对零。它的优点是能把曲面、曲线几何相与能量、动量物理相自然而直观地紧密结合，“开始就揭示出自然的本质既具有简单性，又具有复杂性。即它引进了一种双重解结构，如图代表几何量子，旋代表能量子，对于圈层次可分单圈和多重圈态耦合；对于旋层次，既有位相，又有多重自旋结合。这种组合会带来圈体密度波的几率变化。用Ψ代表圈结构，用Ω代表旋结构，用Ψ代表三旋，可用下列形式的算符表示三旋的物理特征 Ψ=ψΩ (1) 其次，普朗克的量子论、爱因斯坦的相对论,使得物体的刚性概念在微观和高速的情况下变得不够明确，这也为三旋提供了立足之地。现用对称概念；对自旋、自转、转动作语义学的定义： ①自旋：有转点，能同时组织旋转面，并能找到同时对称的动点的旋转，如上面讲的三类旋。 ②自转：有转点，但不能同时组织旋转面，也不能找到同时对称的动点的旋转，如一条线段一端不动，另一头作圆周运动形成锥体状的转动。 ③转动：可以没有转点，不能同时组织旋转面，也不存在同时对称的动点的旋转，如物体在空间作封闭的曲线运动。 按照上述定义，类似圈态的客体(简称类圈体)存在三种自旋： ①面旋：类圈体绕垂直于围面的轴的旋转，如车轮绕轴的险转。 ②体旋：类团体绕过团面的轴的旋转，如拔浪鼓绕手柄的旋转。 ③线旋：类圈体绕圈体内中心圈线的旋转。线旋一般不常见。如固体的表面肉眼不能看见分子、原子、电子的运动。同时，线旋要分平凡线旋和不平凡线旋。不平凡线旋还要分左斜、右斜。根据排列组合和不相容原理，三旋构成三代62种自旋状态。 正是从严格的语义学出发，才证明类圈体整体的三旋是属于自旋，而类圈体的部分(即转座子)不是在作自旋，而仅是作自转或转动；即整体与部分是不同伦的。它对应联系场和粒子、单体和多体、微观与宏观、几何与动量、空间与时间等对立概念，而能把它们统一起来。其次，设想在类圈体的质心作一个直角三角座标，一般把x、y、z轴看成三维空间的三个量。现观察类圈体绕这三条轴作自旋和平动，6个自由度仅包括类圈体的体旋、面旋和平动、没有包括线旋。即线旋是独立于x、y、z之外，由类圈体中心圈线构成的座标决定。如果把此圈线看成一个维叫圈一维，那么加上原来的三维就是四维。再加上时间维，即为五维时反之，把三维作为一种座标系，直角三角座标仅是三旋座标圈维为零的特例。 三旋理论与量于色动力学结合，夸克的颜色可以看成是由圈态的三种自旋的不同排列组合引起的，从而能建立一套夸克立方周期表。它与1979年哈热瑞和舒帕，以及1980年帕堤提出的两套夸克立方周期麦对照，会发现三旋中的分明自旋与味荷对应，不分明自旋与声荷对应。其编码规律是：根据广义泡利不相容原理作处理，同叉前，离叉后，即夸克以味为主，相同的味靠在一起对，就叉去前面的，反之叉去后面的，而保留它的声，并将其余的声叉去；三个相同的味前面的两个味及声都叉去[4]。 从三旋夸克立方周期表全表可以看出，它们仅占62种自技态中极少一部分，这为暗物质的存在留下了很大余地；同时三旋模型能联系两种不周雄的引力量子化理论。例如超引力理论的局部对称性，使广义相对论得以扩展时，毒一个自旋为整数的粒子都有一个自旋为半整数的粒于伙伴；反之亦然。这样就产生出千变万化的新粒子级联：自旋为3／2的引力微子，自旋为1的引力光子，自旋为1／2的金微子和自旋为0的引力标量子；引力光子和引力标量子会传递新的力。而称为度规理论的另一类想法则是用时空曲率来描述各种引力，但也得出了与前者极为相似的预言：维数更高的自旋为2的引力于，“分得”成通常四维时空内的一个自旋为2的引力于和一个或多个自旋为1的引力光子，以及自旋为0的引力标量子。这里，它们中的两类引力子，又正好与三旋分明与不分明自旋对应[5] 。 正是在一系列的关节点上，三旋分形为简单性与复杂性的缔合提供了更为直观的图象，并能使普里高津理解如此复杂的“基本粒子”结构是怎样从基础的分形几何学中诞生的；也使爱因斯坦能满意他关于“我不相信上帝在掷骰子”的说法：在类圈体上任意作一个标记，实际上可以看成密度被，由于存在三种自旋，那么在类圈体的质心不作任何运动的情况下，观察标记在时空中出现的次数是呈几率的更不用说它的质心存在平动和转动的情况。这也是德布罗意坚持的波粒二象性始终只有一种东西，即在同一时刻既是一个波，又是一个粒子的模式机制；并能满足正统一的哥本哈根学派M．玻恩对波函数的几率诠解[4]。 三旋分形在宇宙系统中的应用 宇宙的起源是一个复杂性问题，三旋分形对此为大爆炸宇宙学提供了新的思路。众所周知，相邻的圈子只交一次，要组成十个新圈，就象组成三角形要三条边一样，至少要三个圈子。因此规则联系分形的自相似嵌套性质，取一个半径为Rn的大圆作源多边形，再取一个半径为rn的小圆作生成线，在平面上画一个有自相似嵌套结构的图形。构造的规则是每一级的圆圈由三个相同的小圆圈组成。三个小圆圈的耦合相交，用它们之间的相切近似代表，并表示新一级的圈所能构成的最大内空限度。这样小圆圈的半径rn与前面的大圆圈的半径Rn必然有r。＝Rncos30o＝√3/2R。(n＝1、2、3…)的关系。按此方法作图，如此变形下去，随着变形的进行，会发现小圆圈不但向外扩展，而且还向中心位置堆积，以及在其周围形成等级式的成团分布等重要特征。这与实际观察中的大爆炸烟云、癌细胞的生成、化学反应溶液浓度的扩散、原子里的原子核与电子云结构模型等极为相似。 细心研究该分形，变换成以一个圆内接正三角形为源多边形，和以一条V字形折线段为生成线的图形，折线段的每条线段长为Rn，生成线两端的距离等于正三角形一边的长(2rn＝2×√3/2Rn＝√3Rn)。，根据分形曲线的分数余数定义：设某分形曲线的生成线是一条由N条等长直线段接成的折线段，若生成线两端的距离与这些直线段的长度之比为1/r，则这分形曲线的维数是： D＝1gN／lg(1／r) (2) 按(2)公式，圈态结耦分形的D＝1gN／1g(√3Rn／Rn)＝lg2/lg√3＝1．26179。令人惊奇的是，圈态结耦分形的维数值，与国内外一些天文学家研究宇宙的分形结构，测得的星系分布的分形维数约为1．2相近似[3]。那么联系三旋分形，宇宙是如何诞生的呢?标准大爆炸的创世观，主张整个宇宙起源于一场异常巨大的爆炸，宇宙很快地膨胀了，在膨胀过程中它渐渐地冷下来，于是先是轻子，然后是强子、原子核、原子，最后是星系从中凝聚出来。

frogfish · 发表于 2005-11-12 09:26

新的天文观测又揭示出宇宙中一些引人注目的、未曾预料到的结构，如宇宙中巨大的空洞和星系链，某些星系分布的“片”状结构也是显而易见的。这就是所谓的“不平等的宇宙”。目前解释不平等的宇宙起源的有暴胀起伏模型和宇宙弦模型。而通过三旋圈态结耦分形的维数计算，证明这两种模型实际是等价的。 它们都是说的同一件事情的前后两个不同侧重点。因为按照图态结辐分形的分析，基圆的圆圈必须要有适当大尺度的半径，这正是由类似吐烟因式的暴胀来完成的。而吐烟圈可以用有少量兰黑墨水的移液管在离开水面2至3厘米高处滴一滴较大的墨水到水中来演示，这也是一种分形的自相似嵌套结构：这滴大墨水滴在水中立即形成一个墨水线旋环，但这线旋环不久会变成几个较小的线旋环，如此这样不断分裂下去。而宇宙的相变，正是按类似墨水线旋环的方式由时空点的量子环圈来结耦、结网的。如果基圆的圆圈太小，就只能形成轻子、强子、原子核、原子、分子等一类微观粒子。正是由暴胀形成了基圆的大圆圈，宇宙弦圈结耦、结网才在一个新的基点上进行演化。其次，三旋弦圈联络结耦的支付选择，也是一种起伏变化。因此说，暴胀起伏模型和宇宙弦模型都能用三旋圈态结耦的分形研究来综合；并且该分维图形还能具体地揭示大爆炸宇宙机制中过去未曾考察到的情况：即开始的爆炸不是象一个不断胀大的气球的表面那样爆炸，而是象吐烟圈式的爆炸，然后才象水中线旋环的奇异变化一样，所有的物质粒子才开始互相远离，即宇宙在三维方向才开始作扩张，但同时又还有物质粒子向中心区域集聚，形成明显的等级式成团结构的现象。原于有中心，太阳系有中心，银河系有中心… 就是这种等级现象的明证。即三旋大爆炸宇宙的分维分析，能形象地对宇宙膨胀作出说明[5]。 三旋分形在复杂的物质系统中的应用 千差万别的各种物质，在仪器检查中有的可以用记录在座标纸上的复杂曲线来识别。对此，三旋分形提供了一种直观的思路。 我国古代有一种智力玩具九连环套，是一种圈态结耦、解耦的典型模型，并且这种圈群的组装也具有分形的自相似性质：它是一个带柄的长金属圈；和另一个用一串环，每一个环都通过一根可以活动的金属棍连到下面的底板上，并且是穿过相邻环的部件，在不用破坏的情况下就能组装在一起的玩具。难的是长金属圈穿过每一个环并套着金属棍，不能轻易地解脱出来但又能解脱出来。如果把原子里的电子、中子、质子等基本粒子看成是类似的圈态群落，它们的圈子组装也象九连环套一样，可以不被破坏地结耦和解耦。这样可以类比九连环套中的密码数学，用l表示环在圈上，用0表示环从圈上脱下来。一个N数(N≥3)连环套，可以用N位二进制数学的序列来表示它的解耦和结耦的每步过程，实际这是构成一组密码。下面是一组五连环套结耦的密码表(表1)。 根据此表，用横座标表示结耦先后序数，纵座标表示结耦二进制码变十进制的数码，作图，将出现一条象起伏不平的山脉一样的曲线。联系高能加速器、对撞机之类的实验监测记录获得的基本粒子的能谱峰值图曲线，这里的横座标代表时间序列，而纵座标的能谱起伏曲线正好反映的是各种基本粒子里面圈群结耦或解耦运动编码的实际涨落情况。所以利用这种能谱峰值曲线图，可以近似地掌握各种基本粒子里圈态结耦、解耦特征的反应情况，从而能从特殊的峰值上了解到是否出现了新的粒子，或何种已知的粒子，进而求出它们的分维值[4]。 三旋分形对复杂性的整合思考 在50年代电子计算机的创始人之一冯·诺依曼提出的点格自动机，是一种理想的探索复杂性的简单数学模型。近20年来，人们已先从常微分方程描述的系统和经典力学范围内注意到了混沌现象。这种现象表明在确定演化规律作用下，系统的长期行为或“吸引子”，并不能由初始状态和边界条件完全确定，因而早期把这种终态亦称为奇异吸引子。一个系统的终态可能因初态和环境的微弱差别而呈现千姿百态，这叫做复杂性。为了指导这类复杂性工程的设计，首先要对复杂性进行概括性的研究。而研究表明；即使点格自动机只是一维的，也有以下四种类型：①平衡型：这是一种平凡运动，系统各点值最终都变得相同；②周期型：相应于物理系统中的振动，数学中的极限环，系统长期行为的变化，仅限于局部；③混沌型：系统长期行为对初态和环境有敏感依赖性。这种系统导致的几何图形往往是分形；④复杂型：这种类型是由周期型向混沌型的转换。点格自动机是由相同格子组成的一个空间，每个格点上每一时刻有一个明确的状态(如0或1；正或负)，规定有一个演化规律，以及给定有一个初态和指定有环境的作用。：有些问题支配的偏微分方程数值求解工作量很大，点格自动机就可用来作为这种方程的个粗糙逼近，揭示其中的定性性质；或者代替偏微分方程用来作数值计算。因为在点格自动机中，虽然各个点是离散分布的，其上的值是跳跃的、随机的、快变的，但在宏观的统计平均量中，通过对慢运动的控制实现快运动，却可以得到连续的、确定型的、缓慢变化的物理量。 三旋转座子模型正是一种典型的点格自动机，而且也是探索复杂性的理想数学模型。因为世界上的事物，看来好似一种交差立体分布，实际是一种层面空间分布。例如人和其它动物都有雌雄差别，但却不能异种交配生育，这就是种与类属的层面性所规定了的。三旋以环面运动对应这种层面：以转座子的集合代表同一类事物的集合，而这里转座子本身就属于点格层面空间；但它却不同于冯。诺依曼的点格自动机，是它承受两种势场的运动：①在未受到外加环境的微扰时，转座子的三旋本身是一种周期运动(也包含平衡运动)，或类似一个极限环，②在有环境的微扰作用下，三旋转座于会出现有序。对称、混沌交替的复杂情况。而这种客观存在微扰甚至巨大干扰的事实，到处都是无法避免的，因此在某种意义上说，三旋转座子是一种非线性动力学模型。它类似心脏这样的受迫振荡器。心脏按一种自然节律振动，同时还要受由大脑发出的电脉冲调节。自然节律与强迫作用之间复杂的相互作用使心脏的自然节律有微妙的畸变。最近科学家们发现，心搏频率是以一种意想不到的方式取决于强迫作用频率。而存在有混沌现象中的那样“魔鬼”阶梯的数学描述。与此类似，转座子的三旋可以看成是一种自然节律，而它受到的类似初始条件、边界条件、环境作用的微扰，就犹如大脑与心脏的这种相干效应。也使三旋转座子易于进入混沌的道路，产生一个或多个吸引子。 三旋转座子的自组整合效应更能揭示分形的生命说。例如弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变幻无常的浮云这些典型的分形曲线，似乎各自互不相关，其实它们是象生命一样，有生有死，此起彼落的。蓝天的白云，开始起于小水滴一样的点，可设维数为0；随着时问的推移，出现了云彩并不断积集变浓，分维增大。然后，它或者保持不变，在其地面的投影分维为D；1，35；或者它继续增大，最后达到相变点化为雨，于是分维又变成0。再如把地球看成三旋体，大陆板块看成转座子，科学家们发现。在地球历史上有若干次各大陆曾联合成为一个整体，然后又破裂分开，这一过程似乎是具有周期性的，被称为超大陆旋回。而且大陆板块的漂移、碰撞、拼合，不但决定了山川的起伏，海岸线的弯曲，风云的聚散等地质、地理和气候情况，并且还给生物进化以影响。这生动地说明了分形和三旋整合之间的有机联系。从某种意义上说，分形是一种局部生命，而三旋是一种整体生命

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