非线性系统、非线性时间序列（信号）、非平稳时间序列的概念区别

zhlong

非线性系统、非线性时间序列（信号）、非平稳时间序列的概念有些什么区别呢？

非线性系统的输出是非线性时间序列吗？我看到有的书和论文是这么说的（故障诊断方面），“设备发生故障后（如裂纹等）系统将出现非线性，表现在信号的非平稳上，而小波分析是非平稳信号分析的有力工具，故选择小波分析。。。“。 这句话的意思似乎是非线性系统的输出信号是非平稳的，而不是非线性的？ 而看到有的文献上说小波是不适合分析非线性信号的。

首先是我对非平稳信号和非线性信号两个概念也没弄清楚。是不是象能用AR模型那样的线性模型表示的信号就是线性信号呢？而调频、调幅等信号就是典型的非平稳信号呢？

zhlong

我还看到有一篇文章是这样利用分形维数进行故障（信号）分类的，先对信号建立AR模型再对AR模型的系数求分形维数，根据求得的维数对信号进行分类。AR模型是这样一个模型，x(n)=a1*x(n-1)+a2*x(n-2)+...+ap*x(n-p)+e，式中x(n),...,x(n-p)为信号采样值，p为模型阶数，a1,a2,...,ap为模型系数（常数），e为误差。显然这样一个模型为线性模型，如果信号能建立出这样一个线性模型的话，是不是信号就是线性信号而非非线性信号？那对这样的信号求分形维数有意义吗？

playfish

我对这个也有些疑问，等待高人的答案。另外，楼主说的“利用分形维数进行故障（信号）分类”的论文是什么名字？我很感兴趣，楼主能发给我吗？谢谢！playfishisme@yahoo.com.cn

zhlong

"AR模型和分形几何在设备状态监测中的应用研究" 机械强度 2007年第一期

simon21

非线性系统的时间序列未必是非线性时间序列
产生非线性时间序列的系统必然是非线性系统

simon21

非平稳时间序列未必是非线性时间序列

zhlong

非常感谢Simon21的指教。

根据你的意见，
那“系统的非线性，表现为输出信号的非平稳性”这句话也未必对吧

非线性系统是不是可以这样理解，系统方程为非线性方程的就是非线性系统。
而调频调幅信号等是典型的非线性时间序列。
那么到底什么是非线性时间序列？它的确切概念是什么呢?

huangyong87

非线性系统的时间序列未必是非线性时间序列

是不是指非线性系统“响应“未必是非线性时间序列？我也这样认为。

非线性时间序列的定义一般比较泛泛。在《非线形时间序列分析》一书中(p6)说，凡是不能表示成线性序列形式的时间序列都是非线性时间序列。

而非线性系统“响应“似乎与非线性时间序列这个概念无关。
非线性系统“响应“又有什么特征呢？Huang利用典型的几个非线性方程（Duffing、Lorenz、Rossler）的输出的IMF特点，想说明波内调制是非线性系统“响应“的特征，而非非线性时间序列的特征。但这两个概念常被混淆使用。

不知我的理解是否正确，望高人指正。

playfish

我们学校只开通了cnki，楼主说的那篇论文搜不到，不知能不能发给我？谢谢！playfishisme@yahoo.com.cn

zhlong

已发送，请查收

zhlong

下文摘自 杨叔子、吴雅 等 著《时间序列分析的工程应用》（下册），p309（第14章 门限自回归模型）：

第一章已经指出，就系统本身的性质而言，有线性系统和非线性系统之分，因此，相应地就有描述线性系统的时序模型与描述非线性系统的时序模型，简称为线性时序模型和非线性时序模型。前述的ARMA模型、多维ARMA模型都属于线性时序模型，第十三章所述的方差平稳的时序模型，其中去掉趋势项后所剩部分也是线性时序模型。然而，一个系统或一种现象，总是或多或少地包含有非线性因素，当非线性因素对系统行为的影响较小，或在某一范围内影响较小时，可以采用线性模型来描述（或逼近），但当这种描述（或逼近）不能得到满意的效果时，就应该采用非线性时序模型。需要强调的是，此处所指的线性和非线性是对系统而言，是指模型所描述的系统是线性的或是非线性的。而不是指时序本身是线性的或非线性的。而对时间序列的性质，只有平稳和非平稳之分，并无线性和非线性之分。这往往是容易被误解的。

基于上述论断，可知系统有线性与非线性之分，时间序列（信号）只有平稳和非平稳之分，并无线性时间序列与非线性时间序列之分。
那么如此看来，目前很多文章和书籍称非线性系统的输出为非线性时间序列是不妥的，如《非线性时间序列的动力学混沌特征自动提取技术》、《非线性时间序列分析及其应用》（书）、《非线性时间序列分析（影印版）》（书）。google或biadu一下“非线性时间序列"，可以搜到一大堆结果，难道都错了。当然也可能是大家已经默认非线性时间序列与非线性系统输出指同一概念了。
另外混沌时间序列这个名词也用到很多，根据上述时间序列只有平稳与非平稳之分，那么混沌时间序列是平稳还是非平稳呢？

[ 本帖最后由 zhlong 于 2007-8-13 09:30 编辑 ]

zhlong

非线性时间序列的定义一般比较泛泛。在《非线形时间序列分析》一书中(p6)说，凡是不能表示成线性序列形式的时间序列都是非线性时间序列。

我手头没有这本书，不知道里面所指的线性序列形式具体指的是什么形式或什么模型？:handshake

okok12

偶认为，线性与否是关乎系统本身，而平稳与否是描述信号本身的，该信号可以是Input也可以是Output。

zhlong

那么很多文献中说的 “非线性信号” 该如何解释呢？真的有点搞糊涂了:handshake

handsomezhu

非线性时间序列的模型可表示为：$s_i=f(s_{i-1})$。表示系统前一个状态与当前状态之间是非线性关系（f是非线性映射）。
非线性系统的模型表示为：$y=f(x)$。x为系统输入，y为系统输出。了解线性泛函的人应该知道，如果f不是线性函数，系统不存在线性的加法和数乘特性，即$f(x_1+x_2)\nef(x_1)+f(x_2)$。
从原则上讲，对非线性系统输出进行时间序列分析，不一定就是非线性时间序列，因为这和系统的输入相关。取一种极端情况，如果输入信号是一个时不变信号z的系统逆映射，即$z=1, x=f^{-1}(z)$，则可以得到$y=z=1$，即输出是一个完全的时不变信号，对这个时不变信号的序列分析我们可以得到$y_i=y_{i-1}$，即输出是线性时间序列。
至于非平稳时间序列，如很多人分析，是对一个非平稳随机信号的时间采样，这与非线性时间序列没有直接的关系。非平稳随机信号定义参考陆大金的《随机过程及其应用》。
不过一般的信号不仅仅存在时序的非线性特性，同时存在非平稳的随机特性，如$s_i=f(s_{i-1},w_i(t))$。这里$w_i(t)$是一个特性随时间变化的随机信号，如$N(u(t),\sigma(t))$。$N(u(t),\sigma(t))$为均值为$u(t)$，方差为$\sigma(t)$的高斯过程。