急问一个非线性微分方程是否震荡衰减

xinkaifish

我是南开大学的，正在做一个课题，中间遇到下面的微分方程，不知道如何分析，大家有没有见过类似的方程呢？

                               
登录/注册后可看大图

其中A=A(x)是待求的光波振幅的空间分布函数，A''=A''(x)表示A(x)对x的二阶导，A'=A(x)表示A(x)对x的一阶导，（目的是用Fortran或Matalab语言数值模拟画出A(x)随x的变化曲线）； a,b,c,d,g都是个给定的常数：初始条件为： A(x=0)=0.001，A'(x=0)=2.0×104。

以前遇到过下面形式的方程：

                               
登录/注册后可看大图

很明显方程（2）类似一个常见的振子方程，描写振子的阻尼振动，所以可以用阻尼振动、阻尼力等相关知识来分析这个方程，借以理解它的意义和描写的曲线的震荡衰减形式；

但是方程（1）中的形式从来没有见过，不知道如何分析，比如：
1. 这个微分方程的解的形式如何才能满足震荡衰减？
2. 如何理解它的意义及其曲线的变化形式。

希望遇到过类似方程的朋友能指点迷津，感激不尽~~~~~~~~~

我的Email：xinkaifish@gmail.com

shenyongjun

楼主的方程是一个非常少见的强非线性微分方程，估计这里的人，或者说世界上绝大多数科学家，不能给出关于你这个方程的近似解析解。建议楼主还是用Matlab数值积分，多作些仿真，从中摸索一些规律吧

xinkaifish

原帖由 shenyongjun 于 2006-12-9 23:11 发表
楼主的方程是一个非常少见的强非线性微分方程，估计这里的人，或者说世界上绝大多数科学家，不能给出关于你这个方程的近似解析解。建议楼主还是用Matlab数值积分，多作些仿真，从中摸索一些规律吧

  
谢谢shenyongjun朋友:@)

我正在写程序进行模拟，发帖目的是想问问大家有没有在其他领域或地方见到或用到过类似的方程，我好在分析过程中做个参考，就如同我在模拟方程（2）过程用振子模型做参考一样。或许这样的参考有助于我对方程的理解和对程序、参数等的调试。

程序虽然初步写出来了，但模拟不出来预想中的曲线，好郁闷:@(

supervb

如果有等效的非线性系统的解析解，才能作为预想中的原方程的解曲线，想知道你自己预想中的曲线怎么来的？如果与模拟结果差距太大，估计是解析求解上有问题了。

xinkaifish

原帖由 supervb 于 2006-12-10 17:29 发表
如果有等效的非线性系统的解析解，才能作为预想中的原方程的解曲线，想知道你自己预想中的曲线怎么来的？如果与模拟结果差距太大，估计是解析求解上有问题了。

不一定非要有非线性系统的解析解吧，而且也不是为了以其作为预想中的原方程的解曲线。
比如我曾遇到这样的方程：

                               
登录/注册后可看大图

其中  、a、b、c、Id、I(无穷)都是给定的常数。
在给定初始条件： A(x=0)和 A'(x=0)的情况下，用Fortran程序模拟出了 杠A(x)的空间分布：

                               
登录/注册后可看大图

                               
登录/注册后可看大图

                               
登录/注册后可看大图

虽然方程（3）没有解析解，但它相当于一个阻尼振动的方程，用振子中的有效阻尼力、回复力，阻尼空间频率等益已有知识就可以分析方程（3）并判断a、b、c在不同大小关系下模拟出的A(X)的曲线。


估计方程（1）的模拟曲线应该和上面的(a)、(b)、(C)类似，是振荡衰减的；但 a,b,c,d,g满足怎样的关系才能衰减并且收敛到0，参数变化对曲线有什么样的影响，这些都不好分析，如果有个类似于上面振子模型的对应于方程（1）的非线性系统的话，也许会容易分析和理解。有谁见过类似的非线性系统吗？:@)

supervb

先转化成标准方程组，然后用摄动法试试，上次我没注意方程形式，一般这种模拟出来可以强衰减的话，应该可以在收敛域内应用摄动法的，用坐标摄动试一下吧！应该可以得到近似级数解的。

xinkaifish

原帖由 supervb 于 2006-12-11 18:58 发表
先转化成标准方程组，然后用摄动法试试，上次我没注意方程形式，一般这种模拟出来可以强衰减的话，应该可以在收敛域内应用摄动法的，用坐标摄动试一下吧！应该可以得到近似级数解的。

摄动法？ 近似级数解？
呜~~~~~ 我不懂:@(

supervb

去借一本《摄动方法》，很简单的，就是假设解析解的级数表达式，然后反代回原方程里，再一步步的求各阶近似项。如果你maple或mathematic熟练的话会求起来更快的，要是怕级数解不收敛，那就只好上新理论——同伦方法，来求近似解析解了，据说同伦法的解可以自我调节直到优化为快速收敛的结构。

无水1324

搂主，请问dA是常数吗？
对于这样的强非线性方程，你可以先数值解分析一下，系统的基本变化规律。
近似解析法，推荐用能量法去求解
推荐一本能量法的参考书《强非线性振动系统的 定性理论与定量方法》 李骊 著

xinkaifish

原帖由 无水1324 于 2006-12-14 22:40 发表
搂主，请问dA是常数吗？
对于这样的强非线性方程，你可以先数值解分析一下，系统的基本变化规律。
近似解析法，推荐用能量法去求解
推荐一本能量法的参考书《强非线性振动系统的 定性理论与定量方法》 李骊 著

1. d是常数，A=A(X)是待求的振幅；

2. 数值分析用过了，但出现一个奇怪而让人失望的问题：当程序中选取的步长不一样时图形差异很大，例如，
    当步长较大时得到下面的图Aa和Ab（Aa是Ab的前面一部分），是希望得到的图形；
    当步长较小时得到下面的图Ba和Bb（Ba是Bb的前面一部分），不是希望得到的图形，但这确实精确的（因 步长小）。

3. 李骊的强非线性振动系统的 定性理论与定量方法》已找到，正在看.........

                               
登录/注册后可看大图

                               
登录/注册后可看大图