[转帖]数学中的符号美

simon21 · 发表于 2005-9-28 09:12

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数学是上帝用来书写宇宙的文字 —伽利略 　　符号常常比发明它们的数学家更能推应。—F·克莱茵 　　教学也是一种语言，且是现存的结构与内容方面最完美的语言。……可以说，自然用这个语言讲话超世主已用它说过话，而世界的保护者继续用它讲话。—C·戴尔曼 　　人总想给客观事物赋于某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、文化、艺术、…… 　　符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的。 　　文字是用声音和形象表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”。这些符号的组合便是语言。 　　人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号，“艺术符号学”这门新兴学科应运而生了，它是美学的一个部分。 　　1961年，苏联数学家科尔莫哥洛夫把统计学分析应用到诗歌语言研究中，把语言中的转换和其他符号学系统中的转换相比较，论述了符号学的一般意义。 　　符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力。没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的。 　　数是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。正如没有文字，语言也难以发展一样。几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。 　　古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展；十七、十八世纪欧洲数学的兴起、我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得当与否，简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，都是何等方便！反之，没有符号或符号不恰当、不简练，是必影响到数学的推理和演算。 　　然而，数学符号的产生(发明)、使用和流传(传播)却经历了一个十分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美。 　　古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一。早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，不过他们是用“单位分数”(分子是1的分数)进行运算的。此外，他们还能计算直线形和圆的面积，他们知道了圆周率约为3.16，同时也懂得了棱台和球的体积计算等。可是记数他们却是用下面的符号(这里面多是写真，显然包含着美)进行的： 　　1 10 100 1000 10000 100000 1000000这样书写和运算起来都不方便，比如要写数2314，就要用符号表示。 　　后来他们把符号作了简化而成为： 　　古代巴比伦人(巴比伦即当今希腊一带地方)计算使用的是六十进制，当然它也有其优点，因为60有约数2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等，这样在计算分数时会带来某种方便(现在时间上的小时、分、秒制及角的度制，仍是六十进制)。巴比伦人已经研究了二次方程和某些三次方程的解法。他们在公元前2000年就开始将楔形线条组成的符号(称为楔形文字)刻在泥板上，然后放到烈日下晒干。同样他们也是用楔形文字表示数的(简洁、粗犷)： 　　我国在纸张没有发明以前，已经开始用“算筹”进行记数和运算了。“算筹”是指用来计算用的小竹棍(或木、骨棍)，这也是世界上最早的计算工具。用“算筹”表示数的方法是： 　　记数时个位用纵式，其余位纵横相间，故有“一纵十横，百立千僵”之说。数字中有0时，将其位置空出，比如86021可表示为： 　　甲骨文字中数字是用下面符号表示的(形象、自如)： 　　阿位伯数字未流行以前，我国商业上还通用所谓“苏州码”的记数方法(方便、明快)： 　　它在计数和运算上已带来较大方便。 　　在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字： 　　阿拉伯数字据说是印度人发明的，后传入阿拉伯国家，经阿拉伯人改进、使用，因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符号。 　　我们再来看看代数学的重要内容：“方程”符号产生的历史。 　　在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号： 　　它既不是什么绘画艺术，也不是什么装饰图案，它表达的却是一个代数方程式，用今天的符号表示即： 　　宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论”的研究，当时记数仍使用的是“算筹”，在那时出现的数学著作中，就是用右图中的记号来表示二次三项式412x2-x+136的。其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”。 　　到了十六世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进。 　　直到笛卡儿(法国数学家)才第一个倡用x、y、z表示未知数，他曾用 xxx-9xxx+26x－24∝0 　　表示 x3-9x2+26x-24=0， 　　这与现在的方程写法几乎一致。 　　我们还想指出一点：数及其运算只有用符号去表示，才能更加确切和明了。随着数学的发展，随着人们对于数认识的加深，用原有符号去表示新的概念，有时竟会感到无能为力(没有根号如何表示某些无理数？)，这需要创新。 　　圆周率(圆的周长与直径的比)是一个常数，1737年Euler首先倡导用希文π来表示它(早在1600年英国数学家W．Oughtred曾用π作为圆周长的符号)，且通用于全世界。 　　用e表示特殊的无理常数(也是超越数)——欧拉常数： 　　的也是Euler。我们知道要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能(它们 　　 　　，然而用数学符号却可精确地表示它们。 　　　　 　　年首创的(这也使我们想到：欧拉的成就与他对数学符号的创造不无关系)。 　　(那么奇妙的等式eiπ+1＝0（① 在这里若1、0代表算术，i代表代数，π代表几何，超越数e则代表分析学。那么此式将许多数学分支融合到了一起。）中的五个数中的三个书写符号都是出自数学大师Euler之手！) 代数学就其某种意义上说是符号形式的运算。关于方程式符号的演变，我们在前面已经阐述，关于其他一些数学符号的产生可见下表： 　　当然数学中还有许多符号，这些符号均有其独特含义，使用它们不仅方便而且简洁，比如“！”号表示阶乘，那么 n！＝n×(n-1)×…×2×1， 　　这种符号的进一步使用与推广便是“Π”： 　　与之相应的还有求和号“Σ”含义是： 　　有趣的是求和概念的推广—函数求积中积分符号“∫”似乎是“Σ”号的拉伸。 　　人们也意识到：只有使用不曾为那些含糊观念(如时间、空间、连续性等)所侵占了的符号语言——这些含糊观念起源于直觉，常会妨碍纯粹的推理——我们才有希望把数学建筑在逻辑的稳固基石上。 　　数学符号除了简洁之外，还有另外的意义：形象美。 　　哈密顿算子是一种重要的微分算子： 　　由它作为工具，可导出一系列美妙的结论： 　　　　 　　gradu) 　　这是一个代表u在空间中最大变化率的大小和方向(它是一个向量)的符号。 　　当它作用于向量场函数： v=v1i+v2j+u3k(vi是x、y、z的函数) 　　这是一个“四元数”，其数量部分称为v的散度(记为divv)，向量部分称为v的旋度(记为rotv)。 　　若用哈密顿算子，v的散度、旋度又分别可表示为： 　　十九世纪末，麦克斯韦的电磁学方程组，其微分形式就是用哈密顿算子表示的，其简洁与美妙自不待言。

simon21 · 发表于 2005-9-28 09:12

拉普拉斯方程 　　若用哈密顿算子表示，也是十分漂亮、利落： 　　由上看来，数学符号对于表现数学的简洁性，是何等重要！这就是说：数学符号简化了复杂的数学理论，且通过它可把远离的数学理论巧妙地联系起来。 　　若说+、－、×、÷、……等在数学上不过是一个符号，那么行列式和矩阵记号的出现，则是数学语言上的大胆创新，它的绝妙处已为它在现代数学发展中的作用所显示。 　　行列式概念源于Cauchy，他是在讨论二次型ax2+2bxy+cy2的判别式时而引入的。Lagrange也讨论过某些三阶行列式。 　　Laplace从理论上对行列式性质作了探讨，且给出了行列式的展开定理(由Cauchy进行推广且给出证明)。 　　H．F．Scherk在其《数学论文》中给出了行列式的一些性质。 　　J．Sylvester是行列式理论的始终不渝的推崇者和研究者，他改进了从两个关于x的n次和m次多项式中消去未知元x的方法——析配法，且提出“结式”概念。如他指出：方程组 　　有公共根的充要条件是结式(行列式形式)： 　　(这个结论可以推广到两个m、n次方程的情形) 　　Gauss在Cauchy、Sylvester等人研究的基础上，讨论了二次型 　　的标准式问题，且提出了多项式的特征方程概念，它也是以行列式形式给出的。 　　Weierstrass完成了二次型理论且将其推广到双线性型。 　　行列式简洁、整齐、便于记忆，这些特点往往使某些数学方程变得漂亮，比如：平面上过点(x1，y1)、(x2，y2)的直线方程可用 　　表示。平面上过点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)的圆的方程可用 　　表示。类似地我们还可给出过平面上五个点(xi，yi)，i=1，2，3，4，5的一般圆锥曲线方程的行列式表示式 　　此外这种方法还可以推广到n 维流形中去。 　　从上面的例子我们可以看到：数学符号的重要在于它有无限的力量来协助直觉，把社会和自然字宙中的数学关系联系起来，去解答一些问题，去创造新的思维形式。 　　由行列式研究入手而产生的矩阵理论，在现代科学的许多领域得以广泛应用的事实也正好说明这一点(开始人们研究的是单个数，随着人们思维的发达和科学技术进步的需要，人们开始研究一群数，矩阵正是m×n的数阵)。 　　我们还想指出一点： 　　数学符号的产生也与数学发展的背景有着至密的联系，同一概念开始往往运用不同的符号表示，人们在使用过程中不断对其进行鉴别以确定优劣(实用性、方便性、简洁性等)——这里面也蕴含一个审美过程。 　　牛顿和莱布尼兹各自独立地发明了微积分，由于两个人研究的出发点不同(牛顿从力学研究出发，以速度为模型；莱布尼兹从几何研究出发，以曲线的切线为模型)，两人使用的符号也不一致； 　　牛顿用x表示x对于自变量的导数(牛顿称之为流数)； 　　 　　莱布尼兹的符号(包括他用“∫”表示积分)至今被沿用(牛顿的符号x在某些微分方程表示与求解中也常使用)。 　　当然，莱布尼兹的记号也是不断改进的； 　　开始(1673年)他用拉丁文omnia的头三个字母omn表示积分，用l表示今日的dy，且经常用a表示dx，比如 omn·l=y表示∫dy=y， 　　等。1675年他已开始用“∫”(拉丁文 Sum的头一个字母的变形)代 　　 　　说到数学符号我们当然还不应忘记图形：点、线、面、体的产生正是人们对客观事物的抽象和概括，欧氏几何、非欧几何、解析几何正是研究这些图形的分支。除此之外，还有许多精彩的例子，首先我们会想到“哥尼斯堡七桥问题”： 　　布勒格尔河流经哥尼斯堡市区，河中有两个河心岛，它们彼此以及它们与河岸共有七座桥连接(如上图)。当地居民曾被一个问题搞得百思不得其解，这个问题是： 　　你能否无遗漏又不重复地走遍七座桥而回到出发地？ 　　人们在不停地走着、试着，却几乎无一人成功。 　　数学大师欧拉接触此问题后，想不到他巧妙地将问题转化并成功地解决了这个难题。他是这样做的： 　　首先他将问题抽象成图形：用点代表河岸和小岛，用线代表桥(注意图中A、B、C、D的对应)，于是得到下页右上面这个简单的图形，同时问题相应地改为：“能否一笔画出这个图形”？ 　　欧拉潜心研究，终于发现： 　　能够一笔画出的图形奇点(经过该点的线段条数为奇数的点)个数只能是0或2。 　　这篇论文于1736年在彼得堡科学院宣读，由于它的研究导致了“拓扑学”这门数学分支的诞生(在很大程度上讲也导致了“图论”这门学科的创立)。运用类似的方法欧拉还证明了著名的关于多面体顶点数V、棱数E、面数F之间的关系式——欧拉公式： V-E+F=2。 　　由此人们发现了正多面体仅有五种：正四面体、正六面体(立方体)、正八面体、正十二面体和正十六面体。 　　很难想象：如果欧拉不是运用了图形符号而是用河、桥去探讨这个问题，后果将会是怎样？至少解决问题的难度要变得很大、很大，而且更谈不上新的数学分支的诞生。 　　著名的“六人相识问题”(它是拉姆赛定理的特例)： 　　任何6个人中必可从中找出3个人，使得他们要么彼此都相识，要么彼此都不相识。 　　把这个抽象的问题演化成“点”与“染色直线”，从而巧妙地解答它，这不能不说是“符号”的一大功劳。 　　把“人”用“点”表示，人与人的“关系”用“红、蓝两色线”表示；红线表示他们彼此相识，蓝线表示他们彼此不相识。这样六个人A、B、C、D、E、F中的某个人比如A，他与其他5位的关系由于只用两种颜色表示，其中必有一种颜色的线不少于3条，无妨设 AB、AC、AD三条，且它们为红色(图中用实线表示)。 　　接下去考虑B、C、D三点间的连线，若它们全为蓝色(图中用虚线表示)，那好，B、C、D三点为所求(它们代表的三个人彼此都不相识)；若三点间连线至少有一条为红色，设它为BC，这时A、B、C三点为所求(它们代表的三个人彼此都相识)。 　　其实我们还可以有进一步的结论：上述(彼此都相识或都不相识的)“三人组”六个人中至少存在两组。 　　上面的事实，再次证明了数学符号的威力，没有它至少问题的叙述会变得复杂而困难。 　　这个结论的其他推广这儿不多谈了，有兴趣的读者可参见有关“图论”方面的专著。 　　我们说过：数、字母、代数式是符号，图同样也是符号，它们之间的彼此借鉴与相互的通融，使得数学符号更具魅力和美感。我们看一个例子。 　　对于正数a、b、c，m、n、p来讲，若a+m=b+n=c+p=k，则必有an+bp+cm＜k2。 　　这是一个不等式问题，它的代数解法可由等式： 　　k3=(a+m)(b+n)(c+p)=abc+mnp+k(an+bp+cm)证得。但是我们若利用另一种符号——“图”来解答，结论几乎是显然的： 　　构造边长为k的正方形ABCD，且令DF=a，DG=AH=n，AG=BH=b，BE=p，CE=c，CF=m，作相应的矩形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。 　　由SABCD＞SⅠ+SⅡ+SⅢ， 　　有k2＞an+bp+cm。 　　两千多年前，人们就知道了自然数前n项和公式： 　　公元前两世纪，古希腊的阿基米德等人已知道自然数二次方幂和公式： 　　公元一世纪，尼科梅切斯给出了自然数的立方和公式： 　　这个公式有其自身的美和内涵(它展示了“自然数和”与“自然数立方和”之间的关联)，然而它的本身却无法展现这种关系的实质，若用另一种符号——图来表示，这种关系便清晰而显见了。 　　下面我们给两种用“图”来诠释尼科梅切斯公式(*)： 　　左图大正方形是由边长分别为5、4、3、2、1的(自外向里)小正方块组成，从图中易看出：大正方形边长为5×6=5×(5+1)，同时它也等于2×(5+4+3+2+1)。 　　这样我们首先有2×(1+2+3+4+5)=5×(5+1)， 　　 　　又大正方形面积为［5·(5+1)］2，同时它又可表为诸小正方块面积和： 　　4．12+4·2·22+4·3·32+4·4·42+4·5·52=4(13+23+33+43+53)， 　　 　　我们再来看另一种图示方法： 　　　　 　　另一方面它又等于全部小正方块面积和。但有一点须注意：边长为2、4、6的正方块在右上角处有重迭(图中带折线者)，凑巧它又被其右上方的小正方块(图中带点者)所补偿了，这样一来，这些小正方块的面积和恰好等于大正方形面积。 　　由1+2·22+3·32+4·42+5·52+6·62 　　=13+23+33+43+53+63， 　　 　　恰当而巧妙地运用符号去简化所要考虑的问题，客观上也为数学符号的创立提出某些启示(甚至方向)，为了更好地研究数学，人们必须创造且使用数学符号。 　　数学符号的发明和使用，确实经过了漫长的过程(而时至今日，这个过程仍在继续)，这里面由于人们审美观念(当然包括使用上的方便、简洁)的变化，使得数学符号本身也不断地变化——直至它们被世人所接受。 　　虽然我们还只能说，它发展成今天的符号系统尚并不完美，但人们深信：随着数学的发展，随着人们审美观念的发展，数学符号将不断地得以完善。 　　罗素和怀德海的巨著《数学原理》、布尔巴基学派的多卷《数学原本》正是使用了精密的符号体系，才使得与人类语言不可分离的含糊性在数学中没有存身的余地。 　　正如数学家O．G．Sutton所说的那样：数学所使用的少数符号(没有什么意思的纸上记号)，居然对生活的模样做出了世人所知的如此多的贡献。如果一个中世纪学者现在又醒来，他将会认为这些符号是符咒组成的魔力公式，如果念得对，就可以给人们以战胜自然的能量。 　　如今，我们简直难以想象：如果没有现今的数学符号，数学乃至整个科学的面貌将会是怎样！

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