非线性驻波场的实现及其稳定性研究

魔镜

任意波的传播均满足运动方程、连续性方程与物态方程[1]，这3个方程均为非线性方程。在运动非线性或者介质非线性不能忽略的情况下，方程中非线性项不可忽略，这属于非线性科学研究的范畴。本文主要研究非线性声波。

非线性声波可以划分为非线性行波和非线性驻波两类。自S.Earnshaw和B.Riemann分别于1858年和1860年提出非线性平面声波传播的隐形表达式[2]，关于非线性行波与驻波的研究都有了一定的发展，但一般来说，其详细的理论描述是比较复杂的。

我们知道，线性声波是非线性声波的传播方程线性近似的结果，其波动具有周期性，声场中的声压平均值为零，不可能得到方向恒定且对其中物体具有稳定性作用的声辐射力；非线性驻波场中声压平均值不为零，故存在声辐射力，可以对放置于声场中的物体有持续、稳定的力的作用。自King[3]首次提出声辐射力理论之后，出现了不少与声辐射力相关的理论和应用的研究[4,5]。近年来倍受人们青睐的声悬浮技术，就是利用声波产生的声辐射力来平衡样品的重力，从而实现样品的无容器悬浮[4]。但由于声辐射力随着不同位置而发生变化，悬浮物在声场中做往复运动[6]，比较难达到很稳定的状态，而声场稳定性是评价声场的重要指标，影响了声悬浮技术的应用前景，因此，对于物体在声场中稳定性的研究就显得尤为重要。

Barmatz和Collas等人[6，7]从声场模式的角度基于Gor’kov[8]的声辐射力的时间平均势与物体在声场中振动的回复力常数给出了评价声场声悬浮稳定性的方法，即已知声场的具体形式，对其中的物体进行受力分析，推导出物体具体的运动形式。但此方法只能分析声场分布完全已知的情况。近年来对声悬浮稳定性的研究多从声辐射力的角度出发，引入声场模式、热传输、声流效应等影响因素来探究物体稳定的条件[9]。但这些方法一方面较为复杂、需要考虑的因素繁多，另一方面也没有提出一个可直观的反映物体在声场中稳定性的物理量。

本文从非线性驻波声场的物理特性入手，探究球形物体在声场中稳定性的影响因素，提出能反映物体在声场中稳定性的物理量——声势阱深度。与其他人的工作相比，该物理量能更简洁、更直观地描述物体在非线性驻波声场中的稳定性。进一步我们实验搭建了非线性驻波场的声悬浮装置，将聚乙烯小球、液滴、昆虫等物体悬浮其中，通过改变装置的参数增大此声场中的势阱深度，实验发现物体在势阱深度值更大的声场中更稳定，由此从实验上进一步检验了我们理论的合理性。基于此稳定性条件的获得，我们制作出可以对物体进行悬浮观察的非接触式声悬浮显微镜，这为优化光学显微镜的设计提供了一定的指导意义。

1 理论分析
1.1 非线性驻波场中声辐射力的产生
非线性驻波声场对处在其中的物体存在声辐射力的作用。不同于King[3]使用声压计算声辐射力的思路，Gor’kov[8]引入声辐射力的时间平均势，导出了一种更简单的计算声辐射力的方法。在理想空气流体、小悬浮物近似下，声场对放置于场中半径为R的球形悬浮物产生的声辐射力的时间平均势为[5]

其中，U为声场中的声压势；p为声场中声压分布，即声场中各点声压值，见(2)式；〈p2〉为声场中声压的均方振幅；p0为声压的振幅；u为声场中不同位置处空气的流速，可以由速度势Φ确定，见式(3)和式(4)；〈u·u〉为空气流速的均方振幅；j为虚数单位；ω为超声波振动角频率；ρ为空气的密度；c为空气中的声速，k=ω/c，为波数。

进一步，由势能和力的关系，我们可以通过声辐射力的时间平均势计算声辐射力F，有

可以看到，当产生声场的参数固定时声场中声压分布p确定，进而声辐射力的时间平均势确定，则声场中声辐射力就确定了。声辐射力平衡物体重力，使物体悬浮于声场中，它影响物体在声场中的运动特性。也就是说，一旦声场参数确定，物体的运动特征也就确定了。

1.2 声势阱深度的引入
无量纲化的时间平均势为[5]

将式(2)、式(3)和式(4)代入式(6)可得

可以看到，式(7)中的声辐射力无量纲化的平均势 是空间位置的函数，并存在极小值，处于此声场中的物体可以被束缚在极小值处。声场中声辐射力时间平均势的极小值处即为声势阱[4,6]，定义声辐射力时间平均势的最小值点为势阱最深处。

引入物理量—声势阱深度H，定义H为势阱最深处声辐射力无量纲化时间平均势的负值，

将式(7)代入式(8)可得，

声场中声势阱深度H在外界条件即ρ、c不变的情况下，仅与p0有关，即声场中声势阱深度正比于势阱最深处声压振幅的平方。

我们知道势阱越深，物体被束缚的程度越高，它要逃脱势阱需要的外界能量输入越大。在同等的外界干扰下，势阱更深的声场对物体的束缚能力更强，抗干扰能力更强，物体更不易脱离稳定状态。也就是说，势阱深度H这一物理量能形象直观的反映物体在声场中被束缚程度，也即：物体在势阱更深的声场中更稳定。

所以，要想提高物体在声场中的稳定性，增大势阱深度H是关键所在。由式(9)，在外界条件不变的情况下，势阱深度正比于势阱最深处声压振幅的平方，那么，提高物体在声场中稳定性的问题转化为提高声场中势阱最深处声压振幅。

1.3 声悬浮装置谐振腔中的非线性驻波声场
声悬浮装置是基于非线性驻波场构建的可为物体提供声辐射力以克服其重力而使物体悬浮于声场中的装置[10]。以声悬浮装置谐振腔中非线性驻波声场为例，我们通过改变声悬浮装置发射面与反射面的相对位置，来分析它对声场中势阱最深处最大声压振幅的影响。

建立图1所示谐振腔，球形曲面Γ2(球心角为60°)为发射面，平面Γ1为反射面，两者相对位置可以改变。分析谐振腔中的声压分布。

声场中的声压分布与速度势Φ相关，如式(3)。建立圆柱坐标系，由于体系的对称性，Φ与环向坐标φ无关，具有Φ(ρ,z)e-jω t的形式。其空间中Φ(ρ,z)满足亥姆霍兹方程[4]，

边界条件，

其中，n为面的法向；v0为超声波的声速。

非线性声场中声压分布满足式(10)和式(11)基本方程，但由于边界条件很难进行准确的解析计算，故仿真进行数值求解。


对于图1所示谐振腔，假设反射面Γ1与发射面Γ2的球心O之间的距离为x(向上为正，向下为负)，依次改变x，使用comsol仿真软件对声场中的声压分布进行仿真，使用的参数在表1。对于每一次改变x得到的声场中声压分布仿真结果，提取出势阱最深处声压值的绝对值记为f(x)，结果如图2所示，横坐标为x，即反射面距发射面球心的距离，纵坐标为f(x)，即x对应的声场中势阱最深处声压值的绝对值，f(x)反映了随着x的改变，声场中势阱最深处声压振幅如何改变。图3为声场中声压分布立体图，形象展示谐振腔内各点的声压分布随x的变化关系。其中：O-xy平面为谐振腔通过轴线的剖面图，z轴表示此点对应的声压。

将f(x)代入式(9)势阱深度的定义式，计算各个x对应的势阱深度，得到图4。

由图4可以看到，在仿真的点中存在两个较明显的极大值，即：x=-20mm、-42mm处声场中势阱深度显著高于周围点；X=-20mm时，势阱深度有最大值约为376kJ·m-3，即反射面Γ1位于发射面球心O以下20mm处谐振腔中势阱深度最大，理论上物体位于此时的声势阱中时最稳定。

2 实验验证与装置应用
2.1 实验验证
我们从理论上找到了使得物体在声场中最稳定时反射面距发射面球心的距离，进一步在实验中进行验证。

搭建如图5所示实验装置， Arduino uno单片机编程控制L298N电机驱动板，驱动板输出PWM波驱动NU40C10T换能器。使用的器件参数与仿真一致，超声波换能器的谐振频率为40kHz，发射面的半径为75mm；反射面为透明平面反射面。本实验装置与普通声悬浮装置[10]的区别在于，将两个发射端改为一个发射端和一个位置可调的透明平面反射面，使声场中的声压分布可变且便于在声悬浮装置上端显微观察悬浮物。

连续调节反射面的位置，寻找使悬浮物最稳定的点。实验中，先使反射面Γ1与O点距离为零，将物体悬浮于声场中，物体可以被成功悬浮，但有肉眼可见的较大幅度振动；调节Γ1，物体仍可以在声场中悬浮但稳定性随O与Γ1距离的改变有一定的改变，与理论分析一致；当反射面Γ1距O约为20mm时，物体十分稳定，几乎没有肉眼可见的运动，与理论相吻合，由此验证了用声势阱深度描述物体在声场中的稳定性这一理论的可靠性。

2.2 装置应用
改进后的声悬浮装置可以让放置其中的悬浮物比较稳定，我们利用这一特性，将其与显微镜结合，实现对悬浮物体的观察。将调整好的声悬浮装置放置在显微镜的镜头下代替显微镜的载物台，从镜头中观察悬浮物，整体装置如图6所示，拍摄到的图像如图7所示。

我们知道，光学显微镜本身无法自动调节焦距从而无法对振动的物体进行详细观察。本文提出用声势阱深度这一物理量反映物体在声场中稳定性的理论形象简洁，由对应理论和实验结果可以使悬浮物在声场中的稳定性大幅提高，促进了将改进后的声悬浮装置与显微镜结合，从而实现对悬浮状态的物体进行显微观察。实验中成功悬浮了聚乙烯小球、水滴、昆虫、洋葱外表皮细胞，悬浮物在声场中稳定性均很高，可以使用显微镜对其进行观察。

3 结语
本文定义反映声场对物体束缚能力的物理量——声势阱深度，理论与实验结合证明此物理量可以直观地反映物体在声场中的稳定性，避开了现有对物体在声场中稳定性的复杂描述[4,6]。正是基于对物体在声悬浮装置中稳定性的实现，制作出可以对悬浮物进行显微观察的声悬浮显微镜。

参考文献
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