变形力学中的拖带坐标系（一）

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拖带坐标是指在连续介质内部、嵌在物质微元体上的坐标，它是对物质微元的数值识别坐标，类似于单位微元体的身份证号码。对三维连续介质，每个微元体有三个数值坐标（拖带坐标）。

设想，在介质初始状态下，用直角系（取单位长度）定义这个一套数值坐标，那么，一个数轴（如X轴）就对应于一条直线。在介质变形后，各微元体的坐标并没有发生变化，但是，原来的直线数轴（如X轴）变成为任意曲线。而原来联系两个微元点间的物质线（直线）初始长度，也变为物质线（曲线）的当前长度。

数学上，一个坐标系由数值坐标+规范张量组成。现代数学一般写为 (M,g)，用M表示客体数值坐标，g表示对应的规范张量。我们经常使用的直角系假定了正交、单位1为长度单位。一般不写出规范张量，从而把数值坐标混同于坐标系。

从数学上看，初始的直线系变为当前的任意曲线系。数学上，初始系的数值坐标XYZ+初始规范张量G初始（初始拖带坐标系），变形为初始系的数值坐标XYZ+当前系规范张量G当前（当前拖带坐标系）。我国力学家钱伟长（1943年）把这样的一个坐标系定义为拖带坐标系。从而变形的长度度量张量就是：（G当前-G初始）/2。

在英语文献中，没有合适的用词。而在汉语里，拖带的词意是简洁的。早期文献用过：dragging coordinator system。比较合适。在不考虑变形时，由于拖带系的概念等同于随体坐标系概念，所以，对于无限小变形，用过co-moving coordinator system 这个术语。这样，对dragging coordinator system一词的解释就是等价于material coordinator system （物质坐标系）。而为了强调大变形，用过soft coordinator system 这个词，以及deformable coordinator system这个词。我在写英文论文时，感到这几类选择均不能完整的表达钱伟长的拖带坐标系概念，用了co-moving dragging coordinator system 这个词。

我注意到，对我国力学家钱伟长科学贡献的评论文献中，在拖带坐标系一词的后面有一个括号 (co-moving coordinator system)，或是 (co-moving system)。显然的是言不达意。

Co-moving coordinator system 的准确含义是爱因斯坦相对论的随体运动系，它是刚性的不可变形系。而从静止于惯性系的观测者看，这个系是可变形系（对狭义相对论，变形的自变量参数为物体运动速度）。所以，在规范场理论研究中，研究的是规范的变化。而在研究引力理论时，把真空看成是初始系（没有物质和运动），而把物质运动看成是当前系。也就是因为这个哲学理念上的原因，钱伟长关于拖带系（板壳变形的内禀理论）的论文进入了那个著名的文集。爱因斯坦赞赏这是把广义相对论应用于普通物质的研究。本文想说明的是：对于基本科学概念，英语词汇的表达与汉语词汇的表达能力是有很大差异的。

在现代数学理论中，用流形演化概念覆盖了拖带坐标系的数学概念，但在工程科学中，依然要使用拖带坐标系的概念。就我看来，随着在流形上的基础科学理论研究的完善，把相关理论写为拖带坐标系下的形式依然是工程应用的必经之地。

在力学上有两个哲学原则：一是，在谈物质运动规律时，被研究的对象（微元体）是固定的同一个对象，无论其几何形状如何变化，其边界内所包围的物质是客观不变的，这被称为物质客观不变性原理；二是，就全局而言，对于运动方程的形式，无论微元体的几何形状如何变化（从而当前拖带系是任意的曲线系），运动方程的形式是不变的，这被称为张量性原理。

这两条基本的约束决定了必须使用拖带系概念。与之呼应的是，抽象理论物理使用流形上的运动方程形式（不引入具体坐标系）。从而，我们看到变形力学恰恰研究和使用具体坐标系。这样，抽象上的一致性和具体研究目标的差异性就决定了变形力学并不能直接地使用抽象理论物理的有关方程。

力学上的复杂性表现在：就一个变形运动而言，对于初始拖带坐标系，有运动方程A（如应力平衡方程，相对于初始系的应力平衡）；对于当前拖带坐标系，有运动方程B（如应力平衡方程，相对于当前系的应力平衡）。这两个方程描写的是同一个运动，应当得到的是同样的结论。除非假定两个坐标系间的差别可以忽略（无限小变形力学理论），否则具体的运动方程A与B就是不同的。

因此，就大变形问题而言，我们有两组具体方程（相对于初始态的平衡和相对于当前态的平衡）。而变形量是待求的，我们知道初始系的规范，从而有确定的运动方程A，但是，当前系的规范是待定的（未知的），也就是方程B的有关量是待定的。从而，如何建立和求解B就成为实际问题。

钱伟长是把当前规范关于初始规范作级数展开（以板厚度及弯曲为参量），从而建立非线性力学理论。求解相关的规范系数变化量，用变分法导出方程B，从而在线性近似时就得到方程A。这个办法把运动方程A与B协调了起来。

但是，更多的力学理论家是在应变（应力）上想办法，引入初始位形参考下的应变（应力），当前初始位形参考下的应变（应力）。从而，只有一组运动方程（要么是关于初始态平衡，要么是关于当前态平衡。但是，在哲学上碰到的困难是：运动方程既要关于初始态平衡，也要关于当前态平衡。只取其一的办法，缺乏物理原理的支撑。

因此，在变形力学界采用拖带坐标系概念后（格林应变），在运动规律（运动方程）问题上，应变（应力）的概念如何拓展就成为一个实质性的力学基本理论问题。在持续半个世纪的研究后，应变（应力）的理论定义（概念）越来越多，具体学科上更是如此。从而，变形运动的复杂性就全面地被揭露出来。

我国力学家陈至达的研究是改变拖带系的定义为：拖带坐标+基本矢量。从而把变形定义为：由（拖带坐标+初始位形基本矢量）变形为（拖带坐标+当前位形基本矢量），从而用数学张量（变形张量）来表达初始位形基本矢量到当前位形基本矢量的几何变换。这样，就在应变概念上取得了一般性的定义。

这个理论由陈至达的专著《理性力学》所论述，钱伟长为该书写序（2000年出版）。对于陈至达的变形张量的工程力学应用问题，我出版了专著《应变的几何场理论》（科学出版社，2017）。从而，对变形力学中的拖带坐标系应用于工程力学作了全面的理论论述。

来源：肖建华科学网博客，作者：肖建华。