张量：弹性力学之数学魔术（二）

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四、弹性力学方程的张量形式

有了张量的求和算法，“，”求导，爱因斯坦求和约定，就可以理解用张量描述的弹性力学基本方程。例如平衡方程的张量形式为

这里，j 是哑标，求和后

然后再循环自由标，上式展开为3个式子

再将1、2、3轴变换为x、y、z轴，即有

上式就是平衡方程的展开形式，下式就是平衡方程的张量形式。

两者完全相同，只是形式不同。

写出几何方程的张量形式，如

上式中没有哑标，只需要依次展开即可得到展开形式。先展开j，有

再展开i，有

从这里可以看出，ε12=ε21，ε13=ε31，ε23=ε32，所有独立的应变分量只有6项，而非9项。并且εij(i≠j ) 时被称为应变分量，和我们之前学的工程应变γij(i≠j ) 不同，它们的关系为

再将1、2、3轴变换为x、y、z 轴，有

上式就是几何方程的展开形式，下式就是几何方程的张量形式。

它们只是形式不同。

广义胡克定律的张量形式，如下：

这里，δij 被称为克罗内克记号 (Kroneckerdelta)，满足

考察广义胡克定律的张量形式公式，μ/Eσkkδij 中k 为哑标，有σkk=σx+σy+σz。因此，对广义胡克定律的张量形式公式先展开j，有

继续展开i，对上面第一式展开为

展开第二式为，由于ε12=ε21，只写出后面两项，为

展开第二式为，由于ε13=ε31，ε23=ε32，只写出最后一项，为

整理后，广义胡克定律为

从平衡方程

到

1个变3个，几何方程

到

1个变6个，胡克定律

到

1个变6个。很多人看到弹性力学大片的方程，就会害怕的眩晕，又会佩服弹性力学老师可以不参考教材，一口气写出许多个微分方程组来。其实，弹性力学方程并不可怕，记住这些方程也不会非常厉害，只要明白了方程的规则，再多的方程也会变的如此的简洁，张量就是这种规则最好的代表。

结束语

本文简单介绍了张量的概念，主要目的在于帮助学生看懂利用张量写出来的弹性力学方程，实际上张量理论还有十分广阔的领域，这门学问被称为《张量分析》。它最早来源于微分几何的研究（代表人物高斯、黎曼、里奇等），“张量”(Tensor) 一词，由哈密顿 (William Rowan Hamilton, 1805-1865) 给出。1915年左右，张量分析被用来描述广义相对论，也在此时被人们所熟知。爱因斯坦在写给意大利数学家、物理学家 Tullio Levi-Civita (1873-1941) 中赞叹这一数学方法：

我很欣赏你的计算方法的优雅；骑着真正的数学马穿越这些领域一定很不错，而我们这样的人却不得不费力地步行。

张量分析在力学中有着非常重要的地位，但绝不是仅有力学才使用了张量分析，而是在电磁学（电磁张量）、生物环境学（代表生物环境扩散速率的扩散张量）、相对论、量子力学等广泛的学科领域中，均有重要的应用。

参考文献：
克莱因 古今数学思想
百度百科、百度文库、维基百科等资料


来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。