多自由度系统-固有特性分析

Reginald

多自由度振动系统的固有特性包括固有频率与固有振型，与单自由度系统类似，这些固有特性只决定于系统的固有参数——质量和刚度，与阻尼、激励、初始条件等参数无关。

1. 固有频率与固有振型
多自由度系统固有特性的分析过程和方法与单自由度系统有相似之处，即研究无阻尼自由振动系统。

多自由度无阻尼自由振动方程为

利用单自由度系统的分析结果，假设方程解的形式

代入振动方程得到广义特征值问题

上式有解，必须满足

上式称为频率方程或特征方程。由此可求出 个特征根 ，称为固有频率。

固有频率一定要按从小到大的顺序排列。

将每个特征根（固有频率）代入上面的的广义特征值问题，可得到相应的个非零向量 ，称为固有振型（或称特征向量、模态向量、固有向量、特征矢量等）。显然

由数学概念知道，由上式只能求出 向量各元素的比值，而不能确定各数值大小。

固有频率和特征向量只决定于系统本身的物理特性 和 ，而与外部激励和初始条件无关，它们都是系统的固有属性。

若振动方程以位移形式给出

设

求出个正实根 ，即得固有频率

对应的广义特征值问题为

由此求出固有振型。

2. 主振动
由上述解的形式

可看出，振动系统各个广义质量按相同的固有频率和相位角作简谐运动，这种运动称为固有振动或主振动。

每一个主振动称为一个模态， 和对应的 组成第i阶模态参数。

从上述分析过程知道，主振动只决定于系统的固有参数，与其它任何外界条件无关，因此是一种固有特性，而不是响应！（注意概念：响应由激励引起）

进一步，可以发现（给出）固有振型 的物理意义：系统在主振动中，各质点同时经过平衡位置或达到最大位移，而在整个振动过程中，各质点位移的比值将始终保持不变。即在主振动中，系统振动的形态保持不变。

下面是4自由度mk系统的4阶振型（主振动）

1阶振型

2阶振型

3阶振型

4阶振型

3. 固有振型的基准化和标准化
（1）基准化
由于固有振型 中的各个分量只是一种比例关系，各阶振型均有一个未确定的常数比例因子。通常假设振型的某个元素为1，则其它元素就可以表示为此元素的倍数，这种方法或过程就是振型的基准化。

一般假设振型的第一个元素为1。

（2）标准化
另外一种确定振型各元素数值的方法是，以某个限制条件来确定振型中的常数因子。通常规定 满足条件

满足这个限制条件的振型 称为标准化（或正规化、归一化）的振型。

对于标准化振型

4. 固有振型的正交性

这里： 为系统的第 阶固有振型， 和 分别称为系统的第阶主质量（模态质量）和主刚度（模态刚度）。