材料力学之：探访压杆稳定

weixin

引言：压杆失稳是欧拉 (Leonhard Euler,1707-1783) 在研究梁的弯曲曲线时首次提出来的，欧拉临界载荷公式为人们认识压杆失稳提供了重要的参考，随着桁架桥梁的推广，在不断的试验探索中，逐步完成了对细长杆、短柱、各种约束下压杆失稳问题的深入认识。

17世纪末期，莱布尼兹 (Gottfried Wilhelm Leibnitz, 1646-1716) 提出微积分后，在欧洲大陆产生了极大的影响，许多科学家提出各种各样的问题来扩展微积分的应用领域。雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli, 1654-1705，莱布尼兹的学生) 提出了利用微积分求解梁弯曲挠曲线的问题，如图1所示。

图1 雅各布·伯努利和梁弯曲变形的例题

“如图1(b)所示的悬臂梁，在其自由端作用一集中载荷P，求梁的挠曲线。”

随后，不甘落后的弟弟，约翰·伯努利 (Johann Bernoulli, 1667–1748) 又以公开信的方式，向全欧数学家挑战著名的“最速降线问题”，这直接导致了变分法的诞生。此时的欧拉正在向约翰学习数学，在丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli, 1700–1782，约翰的儿子) 的建议下，也转向了梁弯曲变形的研究。

图2 Leonhard Euler, 1707-1783

欧拉利用变分法研究雅各布提出的梁变形问题，不久后得出了与雅各布相同的结果：梁的弯矩Px 与曲率成正比

只要与材料力学稍加对比，就可以发现上式中的C 即为梁的抗弯刚度EI，但在当时弹性模量和截面惯性矩的概念还没有被认识时，欧拉称C 为“绝对弹性”。之后，欧拉围绕上式开展了各种载荷施加方式，以及梁存在微弯情况下的挠曲线求解，如图3所示。压杆失稳就是其中的一个问题，如图中的AB杆。

图3 欧拉研究的各种挠曲线

欧拉大致是这样提到了压杆失稳问题：在雅各布的例子中，图1(b)，载荷P 施加在悬臂梁的自由端，且垂直于梁轴线。如果把载荷P 的施力方向与变形梁施力点处切线所形成的夹角作为一个关键指标，当这一夹角很小时（已接近于压住），忽略上哪式中的一阶导数求解上式。该问题在数学上存在多个平衡解，而使得压杆发生弯曲的最小载荷即为压杆失稳的临界载荷（直线状态是压杆的另外一个解）。

不过，欧拉导出该公式后，只是对压杆失稳的初步认识。欧拉不仅不理解C 的力学意义，也没有讨论压杆的约束情形。尽管如此，欧拉开启了人们对压杆失稳的认识，得到了临界载荷与杆长平方成反比的结论，这为压杆失稳研究奠定了基础。可以看出，上式实际上给出了对于两端铰接压杆的临界失稳载荷，在材料力学教材中，这一结果为

1729年，荷兰科学家Pieter van Musschenbroek (1692-1761) 在他出版的《实验物理与几何》(Physicae experiment imentales et geometricae) 中第一次做出了压杆失稳的实验研究成果。他指出，失稳临界载荷与压杆长度的平方成反比，这正是欧拉公式中的结论。

图4 Musschenbroek和他测定压杆失稳的实验装置

随着桁架桥梁的推广，铸铁杆、柱等构件在桥梁工程上的广泛使用，压屈（失稳）问题显得越来越重要，研究压杆失稳的工作也越来越多。毕业于巴黎综合理工学院的A.Duleau也曾讨论棱柱杆的压屈，他用很细长的杆子作为试样，小心的沿着轴心方向施加力（避免偏心压缩），得到了与欧拉理论一致的结果。大约在1824年，苏格兰机械师威廉·费尔班恩 (William Fairbairn, 1789-1874) 设计了一款杠杆式材料试验机，如图5所示。1840年，英国工程师霍芝肯逊 (Eaton Hodgkinson, 1789-1861) 利用费尔班恩试验机做出了压杆失稳方面的研究成果，验证了欧拉公式存在一个适用范围。

图5 费尔班恩试验机与霍芝肯逊各类试样

在霍芝肯逊的实验中，圆截面细长的实心压杆压屈结果与欧拉公式非常吻合。如上式，圆截面惯性矩为πd 4/64，代入后上式变为

霍芝肯逊给出结论圆截面细长实心杆的临界失稳载荷与d 4/l 2成正比（d 为试件直径，l 为试件长度)。在实验过程中，他也发现压杆的两端为平头和圆头时，以及压杆的长度和直径的比例 (l :d ) 对临界载荷有很大的影响。例如，霍芝肯逊发现对于l :d 在121~15之间的圆头压杆，其临界载荷与d 3.6/l 1.7成正比。这个结论虽然看起来很不简洁，但在19世纪中期，处理桁架中的短柱失稳问题（这些杆件更多的不像欧拉公式要求的那样细长），在没有更好的理论成果下，霍芝肯逊的结果在工程上得到了广泛使用。可以看出，霍芝肯逊的实验也没有考虑压杆端部的约束，虽然考虑了平头和圆头两种形式，但在实际加载中很容易发生偏心压缩。后来，勒夫 (Love) 和利卫斯·果尔顿都提出过一些简化的计算公式。这一切都在暗示，欧拉公式在实际工程应用中存在着明显的不足。

根特大学 (Ghent University, 比利时学术排名第一的世界顶尖研究型大学) 的桥梁专家拉马尔 (E. Lamarle, 1806-1875) 最早提出了欧拉公式的适用范围。他用临界应力σcr 替代临界载荷Pcr，给出了两端铰接杆件的压屈临界应力公式

式中，i 被称为截面惯性半径，i=I/A，l/i 为杆件的长细比。以长细比为变量，可以看出，临界应力σcr 与长细比l/i 的平方成反比，在 (l/i )-σcr 平面内为双曲线的一支。拉马尔指出只在σcr 在不超过材料弹性极限时，欧拉公式是合理的。对于铸铁压杆，拉马尔将弹性极限视为屈服点的应力，给出了长细比的极限值为

他建议当杆件的长细比大于该极限值时，采用欧拉公式。当长细比小于该极限值时，用屈服应力σyp 作为临界应力σcr。

图6 临界应力随长细比的变化

图中r 等价于i，材料常数为：E = 200GPa，屈服应力为240MPa。

现在的教材中，上式考虑了长度因数μ，写成

长度因数μ 是根据不同的约束，杆件在轴向压缩下发生变形后，与两端铰接压杆相比，得到有效杆长的系数。如图7b所示为两端铰接压杆变形后的曲线，该杆长为标准长度l，当一端固定、一端自由，杆在轴向压缩时，变形如图7a。可见将其向下对称后，可将其视为是一个长度为2l 的两端铰接压杆，因此，其长度因数为2。对于一端固定、一端铰接时，可从变形曲线上的拐点位置确定出长度因数为0.7。同理，两端固定时，可确定出长度因数为0.5。由于拉马尔采用了两端铰接的压杆试样，所以长细比的极限值公式中，可认为是μ=1的情况。

图7 不同约束下的等效长度计算

1900年左右，约翰逊 (J. B. Johnson, 1887-1970，个人信息待查证) 针对于短压杆给出了一个抛物线的经验公式，引入弹性极限，欧拉公式适用的临界细长比所对应的应力低于屈服应力，从临界细长比所对应的应力到屈服应力之间，约翰逊用一条抛物线进行插值计算，如图8所示，失稳临界应力可通过下式求得

图8 约翰逊抛物线公式与欧拉公式对比（图中红色为Johnson公式）

在工程上，人们更喜欢直线公式，而不是抛物线公式。为此，工程师们又从约翰逊抛物线公式简化出了直线公式，首先，定义出柔度

将欧拉公式改写为

令

有

得到

当压杆的柔度（长细比）大于λp 时，用欧拉公式求解。小于λp 时，用下面的直线经验公式求解

其中，a 和b 为材料常数，由实验测定。后来人们发现，仅依赖于上式，有可能得出临界应力σcr 超过屈服应力的结果，随后又引入了λ0，即

求解上式，有

最终将压杆失稳问题区分为三个区域，当λ>λp 时，称为大柔度杆，用欧拉公式求解。当λ0<λ<λp 时，称为中柔度杆，用直线公式求解。当λ<λ0 时，称为小柔度杆，用屈服应力σs 代替失稳临界应力，如图9所示。

图9 压杆失稳的分段求解公式

压杆失稳以一维杆件为研究对象，较完整了研究了承受构件的失稳问题。在工程上，承压构件一般都要进行失稳校核，例如拱结构、承受压力的薄板、薄壳，这些问题使得失稳理论从一维走向二维。对于某些构件，虽然整体上看，结构不是受压，但在局部承受压力时，也可能出现失稳。例如，梁在弯曲时，一侧受拉、一侧受压，在受压一侧就可能发生失稳，虽然这是一种局部的失稳，但由于局部结构的突然改变，在整体上造成整个结构受力的重新分布，从而引发强度不足致使整个结构坍塌，这些都是工程中需要极力避免的问题。

参考资料：

铁木辛柯. 材料力学史

马宏伟.张伟伟. 工程力学十讲. 高等教育出版社.

Buckling.https://en.wikipedia.org/wiki/Buckling

Physics:Johnson'sparabolic formula.

https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson%27s_parabolic_formula

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。