无网格法和有限元法的区别

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作为一种数值计算方法，无网格法和有限元一样，都是通过变分原理推导控制方程，但也存在很多不同之处。

01、形函数不同
无网格法将研究对象离散为节点，节点之间无需网格联系，节点的函数值是该节点影响域内节点的函数值通过最小二乘拟合或积分变换得到的，即形函数不是插值函数。而有限元法将研究对象离散为单元，以单元为研究对象，单元内任意点的函数值通过节点值插值得到，形函数为插值函数。图1所示为有限元和无网格法离散方式的区别及函数表达式。

无网格法（图1a）：

有限元法（图1b）：

a) 无网格法；b) 有限元法

图1 无网格法和有限元法离散方式的区别

02、整体刚度矩阵的组成
在系统刚度矩阵的组成上，有限元法是对单元内的高斯点积分，其刚度矩阵是通过单元内的高斯点组合起来的；而无网格法是对I 节点影响域和J 节点影响域交集中的高斯点积分，刚度矩阵是交集中的高斯点的组合（如图2所示）。

无网格法（图2a）：

有限元法（图2b）：

a) 无网格法；b) 有限元法

图2 无网格法和有限元法整体刚度矩阵的组成

03、本质边界条件的处理
如前所述，无网格法的形函数不是插值函数，即函数在某点的近似值不等于函数在该点的值，所以本质边界条件不能满足，这也是无网格法最大的困难，解决的方法有：罚函数法、拉氏乘子法、修正的变分原理法、与有限元耦合法等。其中，罚函数法虽然其精度受罚函数的影响较大，但由于比较简单而得到广泛应用。

04、积分方案不同
有限元一般采用高斯积分，即在单元内部建立高斯积分点。

而无网格法采用的积分方案有：

  · 节点积分，即利用梯形积分法则，这种方法比较简单，是真正的无网格法，但计算稳定性较差；

  · 利用背景网格或有限元背景网格建立高斯积分过程，这里的网格仅用于积分计算，并不影响无网格法的实质。

来源：wondering的新浪博客