加减平衡力系公理的应用

Reginald

加减平衡力系公理：在任一原有力系上加上或减去任意的平衡力系，与原力系对刚体的作用效果等效。

所谓公理，就是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。注意：加减平衡力系公理有两个关键点：一是加上或减去的是平衡力系，二是针对的刚体。根据这条公理，我们进行力系的等效替换，可以得到一些有趣的结论。

1.力的可传性

图1 力的可传性示图

如图1所示，在A点受力F的刚体，根据加减平衡力系公理，我们在B点加上一对平衡力并不改变刚体的受力效应。如果这对平衡力的大小和F等大，方向沿着F的作用线，则从另外一个角度来看，A点的力F和B点左下方的力F构成一对平衡力，那么减去这对平衡力，也不会对刚体的受力效应有影响。最终结果则是力F由A点等效移动到了B点。

即：作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移动到刚体上任意一点，并不改变该力对刚体的作用。作用于刚体上力的三要素变为大小、方向和作用线，力是滑动矢量。

2.平面平行力系的合成

图2 同向平行力的合成示图

如图2所示，刚体在A点和B点受两个同向平行力F1和F2作用，根据加减平衡力系公理，在AB连线上加上一对平衡力F，并不改变刚体的受力效应。在A点的力F和F1合成为合力F3，在B点的力F和F2合成为合力F4，F3和F4汇交于D点。实际上，根据力的可传性，D点的力F3与A点F3一样，由力F和F1构成，D点的力F4和B点F4一样，由力F和F2构成。显然，在D点左右两个水平力F是一对平衡力，可以去掉，最终的合力为R=F1+F2，方向与F1和F2平行。

合力的位置可以根据相似三角形来确定：A点的力三角形和三角形ACD相似，F1/CD=F/AC；B点的力三角形和三角形BCD相似，F2/CD=F/BC；结合两式，约去CD，则F1/BC=F2/AC。
即：两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与两力平行，并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。

类似的处理方式，对于大小不同的两反向平行力也有类似结论，这里不再展示，结论为：

大小不同的两反向平行力的合成结果是一个力，这个合力的大小等于原两力大小之差，作用线与原两力平行，且在原两力较大一个的外侧，并外分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与较大的外力相同。

3.力偶的可转移性

图3 力偶中力和力偶臂的可变性示图

如图3所示，作用于刚体上的力偶M，其力的大小为F，力偶臂为d。根据两同向平行力的合成法则，A点的力F可以分解为两个同向平行力，这两个平行力满足F1+F2=F。假定F1作用于B点，F2作用于C点，则F1/AC=F2/d。另外，B点的力F和F1合成为F-F1=F2，那么B点的力F2和C点的力F2形成一个新力偶，且力偶矩为M=F2(AC+d)=Fd，力偶矩保持不变。

即：只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。

图4 力偶的可转移性示图

如图4所示，作用于刚体上的力偶M，其力的大小为F，力偶臂为d。根据加减平衡力系公理，在AB连线上加上一对平衡力T，对刚体的受力效应不变。A点的力F和T合成为F1，B点的力F和T也合成为F1，且F1=F/sinθ。可以通过改变施加平衡力T的大小来改变合力的方向角θ，从而改变合力F1的大小。显然，A点的力F1和B点的力F1同样构成一个力偶，其力偶臂为d•sinθ，力偶矩为M=F1•d•sinθ=Fd，力偶矩不变。此外，根据力的可传性，力偶还可以在其力作用线上任意滑动。因此，只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意转移。

即：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意转移，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。

4.力的平移定理

图5 力的平移示图

如图5所示刚体，在A点受力F的作用，根据加减平衡力系公理，在B点加上一对平衡力并不改变刚体的受力效应。如果这对平衡力的大小也是F，作用线与力F平行，则从另外一个角度，A点的力F和B点朝下的力F构成一个力偶。这样就把作用于点A的力F任意平移到点B，但要保持等效，还需要附加一个力偶。
即：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。