结构动力学中的模态分析 —— 实模态分析

为了模仿

本文介绍无阻尼或小阻尼系统的实模态分析。

单自由度振动系统

结合之前介绍的线性系统和频响函数，先看最简单的单自由度振动系统。

对于一个单自由度质量-弹簧-阻尼系统

其频率响应函数为

在频域分析中，结合线性叠加，响应=频率响应函数*激励，即

时域分析中，可由激励与脉冲响应函数的卷积，即Duhamel积分实现；这里也用到了线性叠加的性质；该内容与模态分析关系不大，这里不做展开。

模态分析

模态分析一般分为实模态分析和复模态分析，分析对应了无（小）阻尼（或比例阻尼）系统和非比例阻尼系统；阻尼是一个很大的课题，这里不具体介绍；同时未考虑几何刚度（预应力）的影响；若无特别说明，本文大多指的是实模态分析。

多自由度振动系统

考虑一个N自由度的振动系统

其中Y为列向量，M、C、K为方阵，F为列向量。

对于这么一个复杂系统，在外界激励F(t)作用下，如何确定结构响应呢？

对单自由度的分析，让我们考虑了是否能将多自由度系统的响应拆分成若干个单自由度系统的响应，然后组合起来。矩阵对角化就是解决这个问题的数学解答，在动力学中称之为“解耦”。

考虑无（小）阻尼系统，同时无外界激励，即C=0，F=0。

将原始动力学方程解耦的过程，就是求解质量矩阵M关于刚度矩阵K的广义特征值问题，即

解得N个特征值ωi2和对应的特征向量Yi；ωi就是模态分析中的频率，Yi就是对应的振型。

结合上讲中的线性变换，将振型视为基或坐标轴，方程实现了“解耦”；换句话说，一个N自由度的振动系统，在物理坐标系下看，各个节点的运动是相互“搅”一起的；换一个视角看，在以振型为基的在新的坐标系下，它们变成了N个单自由度系统了，我们把新的坐标系叫做模态坐标系。

之后，就可以重复之前单自由度系统和线性叠加的操作，此时的单自由度是模态坐标系下的，并不是物理坐标系下的，最后再经过一次线性坐标变换将模态坐标转回到自然坐标系，这个过程称为模态叠加。

分布参数振动系统

分布参数系统（连续体），如梁、壳和实体等，它们有无穷多个自由度。

其中x为空间坐标；上述矩阵求解特征值问题变成一个偏微分方程特征值问题，特征向量变为一个连续函数，转化到了泛函空间；形式上比较复杂，不展开介绍；可以将其与离散系统比较，想象成一个连续系统被“切”成一块块，变为一个多自由度系统，直观上还是比较好理解的。

最后

本文介绍了单自由度、多自由度和分布参数振动系统的实模态分析。