有限元仿真分析误差来源之固有频率

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模态分析是动力学分析的基础，其中固有频率是工程师们关心的重点。但是由于固有频率计算太过于基础，有些问题往往被忽视。下面就对固有频率这个动力学参数以及引发的相关思考进行分析讨论。

一、固有频率

先看一个无阻尼多自由系统，在无外载荷作用时，动力学方程如下。

取一个特解，如下所示。

式上式代入动力学方程可得

那么，该方程有解的充要条件是，系数行列式值为0，那么

这样就可以解得一系列ω，0<ω1<ω2<···<ωn，当该系统为单自由度系统时，只有一个ω，即

以前我总是把这个当做固有频率。直到有一天，做模态试验。试验得到了一系列的模态质量、模态刚度和固有频率的数值。我就套用上面的公式试了下，发现通过模态质量和模态刚度计算出来的固有频率，和试验得到固有频率值差2π。

后来就查书，发现这个ω=√K/M 应该叫角频率，固有频率是

通过算例，来验证下。

一个受正弦载荷的梁，计算端部位移。通过模态分析得到该模型的一阶固有频率为5.46Hz。设定外载荷为F=200·sin(2·π·5.46·t)，0<t<0.092，通过瞬态动力学分析，并提取端部的位移值得到结果如下。

利用理论计算，并和仿真的数据进行对比。公式如下。

其中

Xst 为静载荷作用下的位移：

通过静力学分析得到。将理论计算值和仿真分析值对比图如下所示。

Xst 可以看出理论计算值和仿真值吻合度很好，认为仿真分析是合理的。

将外载荷变成：

再通过仿真分析得到结果如下：

可以看出只有当激励载荷的角速度和设备的角频率重合时，会产生较大响应。

二、时域与频域

从频域分析的角度，采用频响分析会得到什么结果呢？还是图1的模型，定义载荷如下图所示。

提取受力点计算结果，得到如下图所示。

在频率为5.46H处，形变位移响应幅值达到8.06×10-5mm。明显远大于上文计算的2.6×10-6mm的计算结果。为什么会这样呢？

原因在于载荷的作用时间。上一节中载荷作用时间只有0.092s，也就是半周期。而频响分析对应的瞬态动力学分析是在时域上、频域上计算无穷个正弦周期，即

为了验证这一点，在时域把计算时间变长，得到计算结果如下所示。

可以看到最大形变量为8.1×10-5mm和频域分析的计算结果基本一致。但是，时域分析会耗费大量的计算时间，相比之下，频域分析会更有效率。

三、结论

通过对固有频率的讨论，我们得到以下几点结论：

  · 是角频率，不是固有频率。只有当外载荷的角速度或者频率和设备的角频率或者固有频率对应相等时，才会发生共振，产生较大的响应。

  · 频域分析和时域分析可以互相转换。但如果时域载荷作用时间较短，在频域分析上不能简单的对应计算。

来源：仿真秀微信公众号（ID：fangzhenxiu2018），作者：青梅煮酒。