力学解析：蛤蟆夯和偏心转子

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偏心转子逆时针匀速旋转的惯性力若小于构件总重，则底座随摩擦因子增加而出现连续、一次停顿和两次停顿的振动及完全静止的4种状态。连续以及一次停顿时右向位移较大，两次停顿时则左右位移相等。惯性力大于构件重量使底座跳起时，如“蛤蟆夯”则整体向左移动。

以上文字摘自拙稿“摩擦力对偏心转子底座运动的影响. 力学与实践, 2019, 41(4): 436-441”。这也就是一道理论力学习题，只是用计算机将公式转换为彩色曲线，借以展示多个参数对系统状态的影响。写作的缘由值得一说。

在读到高云峰老师的文章“理论力学习题背后的故事(4)：出乎意料的偏心转子运动. 力学与实践, 2018, 40(6): 683-687”后，突然想起不知道多少年前恰巧看到的“有才小哥的流年不利(315 晚会？)”：种子站买的玉米不发芽，而家里面村的土豆全都发芽；打夯机转起来只退不进，而毛驴见了预制板跑了没影；过年买的爆竹个个不响，骑上自行车去理论却半路爆了胎。随着再现场景有才幽默地说笑，自己当然跟在后面一乐。不过，蛤蟆夯的运动是个力学问题呢，总得作个计算才能安心睡觉——打夯机在坚硬平整的地面上就该后退，只有在夯土时才会向前。

相关内容似乎还没有说过，但总该有人说一下啊。

01

支承面光滑且转子从静止时开始转动，因系统不承受水平方向的作用力而总动量始终为零，总体质心位置不变。转子在右侧水平位置时，底座速度为零且达到左侧最大位移而向右加速运动；转子达到上方最高位置时，底座位移为零，而向右速度达到最大而开始减速；转子在左侧水平位置时，底座速度为零而达到右侧最大位移。

02

摩擦总是不可避免的。静动摩擦因子均为μ=tanφ。惯性力与构件总重量之比，即等效惯性力λ≤ sinφ 底座不能运动，而λ＞1 时底座就会起跳；sinφ<λ<1 则底座在地面上滑动。

下图是摩擦角φ=10°或摩擦因子μ=0.1763 时，等效惯性力λ 对底座运动特征的影响。转子位置θ 在曲线δR~γR 之间底座右向运动，而在δL~γL 之间则是左向运动；角度β１、β2、β3 和β4 表示底座水平方向受力平衡的位置。图中曲线左侧区域是底座静止的参数范围，随着转子惯性力增加而出现两次停顿、一次停顿和连续的周期振动等不同的运动形式。又，底座实际运动与初始条件相关，但摩擦阻尼使之趋于下图所示的周期解。

等效惯性力λ 小于0.174完全不能克服摩擦力；在0.174~0.280之间，底座两次停顿时，起始运动位置就是β1 和β3；而惯性力继续增大，右向运动起始位置是β1，其停止位置已超过平衡位置β3 而不再停顿，随即反向即左向运动，但加速过程缩短使得停止位置γL 尚未到达平衡位置2π+β1，则出现一次停顿。惯性力大于0.473之后底座可以连续地往复振动。

底座左右向位移随惯性力变化如下图。底座运动若出现两次停顿，左向和右向位移完全相同，但相应的转子位置并非对称；其后随着转子惯性力增加，因正压力引起的摩擦力差异，右向运动时间增加，位移也相应增加。

03

夯击地基主要是使土体孔隙减小并排出其中的空气。不过，夯击后受压空气会膨胀使土体孔隙少量恢复，即地面在夯击过后有所回弹。夯机底座未从地面跳起则低于前后土面，不会发生摩擦滑移，因而可以摩擦因子为无穷大。

转子位于α=π–cos(1/λ) 时，底座从地面跳起；在位置α*=2π–α=π+cos(1/λ) 时底座升高到最高点，在ψ 时落回地面。惯性力λ=1.705 时，底座落回地面而转子恰好在正下方。为了得到较好的土基击实效果，需要优化“蛤蟆夯”的惯性力。

底座起跳后向右加速过程对应于转子位置θ 为α~π，离心力的水平分量较小，且时间较短；而向右加速的时间较长，在θ 大于α* 后离心力的水平分量较大，底座因此而获得了左向的移动。底座跳起后会左移落地，蛤蟆夯真可以自行向前呢。

来源：尤明庆科学网博客，作者：尤明庆 河南理工大学教授。