结构有限元分析中的静力分析 —— 有限元法

用完美的表情

本篇我们主要讨论有限元法的数学原理和实现过程。

有限元法

有限元法是求解偏微分方程的一种数值计算方法，主要在固体力学中应用，此外还在电磁场、热和声中有所应用；有限差分法和有限体积法等数值计算方法也可解决此类问题，主要在流体力学中应用。

最小势能原理和变分法

从微分方程的角度看，要求求解变量在边界上处处严格满足边界条件，因此方程非常难解，即微分方程描述的是强形式，即要求求解域内的任意一点均满足微分方程的形式和边界条件。

若从能量的观点出发，结合最小势能原理，即真实结构的状态总是保持势能最低的，由此可以得到势能关于位移和应变的泛函，即积分形式，用变分法求解势能泛函极值也可得到和微分方程一样的形式。

从这点上看，二者是等价的，但我们只要求了势能最低，是一个“宏观笼统”的概念，理论上并未要求积分域内任意一点均满足微分方程的边界条件的形式，所以为弱形式。事实上，任意一个偏微分方程都可以等效转换为基于最小势能的泛函极值问题。

换一个通俗易懂的说法，我们假设满足边界条件的位移u1、u2、u3…为可能的解，其对应的势能为П1、П2、П3...；在所有可能的位移中，只有使势能П最小的那个位移u，才是真实的解。

寻找最小势能对应的位移的过程就需要引入变分法，即求泛函极值问题的方法；关于变分原理可以参考相应的书籍，本文不在此详细讨论；需要指出的是，变分法就是在无穷多的可能位移解中找到真实的那一个位移解的过程，标准就是只有真实位移解才能使势能最小。

虽然偏微分方程描述和泛函极值描述二者是等价的，但是基于变分法的泛函极值问题并未给我们指出如何得到解的具体形式。

好在我们只需要得一个近似的数值解。

既然我们无法得到位移关于坐标的具体函数形式，那我们可以假设位移为某些已知函数形式的线性组合，如u(x)=a0+a1x+a2x2，函数的可能空间变得小了很多；求解位移u(x)的过程就转换为求解待定系数a0、a1、a2的过程，即求解关于待定系数的线性代数方程组。

基本理论

对于外形复杂的结构，我们将其离散，生成有限个小块，这些小块被称为“单元”，这就是“有限单元法”的由来。

上文中假定的位移模式通常采用多项式的形式，并且单元内任意一点的位移通过节点的位移表示为

变换矩阵N被称为“形函数”。尽管看起来有点奇怪，但是在数学上节点位移量相当于待定的系数：通过线性方程组求解这些待定系数，即求解了每个节点的位移。

结合单元的形函数和本构关系，可以得到“单元刚度”；将离散单元按总体节点编号规则组装起来，就可得到整体方程

其中K为整体刚度矩阵，F为载荷。

由于K是一个奇异阵，静力分析中需要添加足够的位移边界方程才能有唯一解，具体解出刚度矩阵奇异性的方法有：主对角线元素置“0”法、主对角线元素置“1”法和置大数法。

位移求解完毕后，应力应变就可以通过位移的结果快速得到了。

分析流程

前面讲了有限元的大致原理和路线，再来整理一下有限元分析的流程：

  · 选择分析单元类型，应根据具体的模型和关注点合理选择单元形状；确定形函数，一般有线性和二次；
  · 设置材料参数以及截面等参数，对应广义的本构关系；
  · 离散，划分单元，形成单元刚度矩阵，也可以直接建立有限元模型；
  · 添加边界条件和载荷，得到整体静力学或动力学的完整方程；
  · 求解方程，选择适当的算法和对应的求解控制选项参数，得到节点位移解；
  · 后处理，得到节点或单元的应力、应变、位移、和约束反力等结果并通过云图或曲线形式可视化。