研究系统混沌运动的几种常用方法

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　　从牛顿力学创立时起，人们就坚信：对一个确定性动力系统施加确定性的输入，则该系统的输出一定是确定的。对于线性系统，这一结论是正确的，但对于非线性系统，则可能出现一种无法精确重复、貌似随机的运动，人们称之为混沌。混沌运动，是确定性非线性动力系统所特有的复杂运动状态。

　　通常，确定性动力系统有三种定常状态，即平衡态、周期运动和准周期运动。混沌运动不同于上述三种运动，它是一种不稳定的有限定常运动，局限于有限区域但轨道永不重复。通常混沌运动的研究方法可分为：定性和定量两大类。

　　一、定性分析方法

　　  · 直接观测法：以根据动力学系统的数值计算结果，画出系统的相轨迹和时间历程图，通过对比、分析和综合以确定解的分叉与混沌现象。

　　 · 分频采样法：对于受迫振动，通常观测系统运动时，选取采样周期为外控力周期，当采样结果为一点时，系统作周期运动，当采样结果是n个离散点时，运动周期是外控力周期的n倍，当采样结果是无穷多离散点时，运动可能是混沌的。

　　 · 庞加莱截面法：对于含多个状态变量的自治微分方程，可以在多维相空间中适当选取一固定截面，观测运动轨迹与此固定截面的节点个数。当庞加莱截面只有一个不动点或少数离散点时，运动是周期的;当庞加莱截面上是一闭曲线，运动是准周期的;当庞加莱截面上是成片的密集点且有层次结构时，运动是混沌的。

　　二、定量分析方法

　　  · 李雅普诺夫指数分析法：对于一个耗散系统的混沌运动，它存在着两个相反的过程，一方面耗散作用要使轨道收缩，另一方面轨道又要相互分离。收缩是方程本身决定的(存在耗散项)，它是对相空间整体来说的，其作用是使远处的轨道趋向收缩至有限的范围内(吸引子);发散是局部性质的，它使靠近的轨道相互排斥，这样，所有的轨道最终集中于相空间的有限范围内，既相互靠拢又相互排斥，形成复杂的混沌态。李雅普诺夫指数就是表示在多次迭代过程中，平均每次迭代所引起的相邻离散点之间分离或靠近速度。因此，对于多维情况，当最大李雅普诺夫指数小于0时，没有产生混沌;而当最大李雅普诺夫指数大于0时，运动是混沌的。

　　  · 自功率谱密度分析法：根据傅里叶分析，当系统运动是周期时，其功率谱只在运动的基频及其倍频处出现尖峰;准周期对应的功率谱在几个不可约的基频以及他们叠加所在频率处出现尖峰;混沌运动的特征在功率谱中表现为出现宽峰的连续谱。根据功率谱可以很容易地辨识运动的特征是周期的、准周期还是混沌的。

　　参考文献：
　　张琪昌. 分叉与混沌理论及应用[M]. 天津大学出版社.

　　来源：漫步力学微信公众号(ID：Walking-mechanics)，作者：高天 天津大学。