有限元学习感悟：仅学习软件的使用技巧是远不够的

weixin

　　大三时候，学校开设了一门叫做“现代设计方法”的课程，在课程中老师向我们提到了一个新的名词“有限元法”(finite element method)。至于当时讲了些什么，记忆早已漫漶不清了。但是至今仅存的感受就是太复杂，太高深了。

　　我曾经在当时的有限元讲义上留下了孟子的一句话“登东山而小鲁，登泰山而小天下，观于海者难为水”。这句话不过是用来感叹有限元理论的艰深难懂，意思大概是了解了有限元的博大精深之后其他的什么复杂的理论与之相比也会黯然失色，虽然用这句话来形容我对有限元法的感受并不十分贴切。

　　虽然开始觉得相当的难懂，在学习完现代设计方法这门课后，也粗略的了解到有限元实质上是求解偏微分问题的一种近似数值求解方法。至于具体的求解过程，以及其中涉及的各种复杂的理论并未理会过。

　　本科毕业设计的时候，我的课题涉及到利用有限元方法求解光机结构在稳态温度场下的热变形问题，在那几个月的时间里，通过各种渠道对有限元方法的具体实施过程开始有了初步的了解，借助网络论坛上的算例，以及有限元软件的辅导材料，并通过上机练习，我渐渐对有限元的求解过程有了大致的了解：对待求解的连续对象离散化，也就是将其划分为有限多的单元(element)，这些单元仅仅在单元的节点(Nodes)上联系，然后通过某种物理或数学方法建立所有节点的方程组，利用插值可以近似获得连续体内部的解。

　　当时的认识也就到此而已，因为我更关心的是有限元软件的使用而非有限元理论本身。但是忽略有限元的理论本身有给我带来了很多问题。比如温度分析时热载荷的施加，在机构体表面具有对流换热边界条件时施加热流密度的问题，热辐射同对流换热的等效问题，以及在实际工程问题中广泛存在的接触问题等等。

　　在使用有限元软件Ansys的过程中，逐渐领悟到，仅仅学习软件的使用技巧是远远不够的，想要深入的理解有限元方法的本质，并能够熟练自如的解决各种复杂的工程问题，必须从根本上掌握有限元分析的普遍方法，这样才能以不变应万变，并能够熟知这种方法的局限性，并在此基础上完善和改进。

　　在使用Ansys的过程中我体会到过分依赖技巧，虽然解题的熟练程度可以提高，但是这种提高时有限的，而且越到后来提升的空间越来越小，同时最大的问题在于人的思维方式被经验完全束缚，变得僵硬固化，成为思维定势，问题稍稍变动，就像失去方向的雁群，在空中久久徘徊，叫声哀婉凄凉。

　　现在已经研究生了，这学期我又选修了《工程中的有限元方法》这门课程，以期通过系统的学习相关理论达到从本质上理解和掌握有限元这种重要的工程方法的目的。老师推荐了《Introduction to Finite Elements in Engineering》这本书，我在较短的时间里通读了一遍。虽然这本书写的简明易懂，但是对于初学者还是大有帮助，能够使人在较短的时间里对有限元方法有一个全面的理解，并能熟悉该方法的难点和重点。

　　有限元的难点在于推导单元刚度矩阵，在推导的过程中涉及很复杂的物理和数学理论，而对于这些该本书讲的并不够深入，因而依旧停留在求解技巧的层次上，而对于技巧层次上的东西难以满足我的要求。

　　在此基础上我又在图书馆借了几本有限元理论方面的书籍，在看的过程中贯穿有限元理论始终的，尤其是结构力学分析方面的，是最小势能原理。通俗来讲，受力体在满足变形协调条件下的可能的存在状态是无穷的，在这些无穷的存在状态中仅仅存在一种是符合客观规律的，而在这种形态下变形体的势能最小。这就是最小势能原理的不精确论述。但是最小势能原理是针对结构分析时采用最多的也是最有效的一种方法，对于其他问题，比如温度场，渗流，电磁场，流体场等问题就显得苍白无力了。

　　这是我当时的一些学习体会，而到后来学习了《变分法》，我的这一看法又有了改变。有限元方法实质是偏微分方程的数值解法，由变分原理，偏微分方程的边值问题等价于对应问题的泛函极值问题。事实上，最小势能原理就是变分法中求解静力学问题的一个特例。

　　推而广之，那么势能法能否推广到其他物理问题中去呢?答案是肯定的。在很多物理问题的偏微分方程，都能找到一个势能形式的泛函与该偏微分方程对应。在沈老师的有限元讲义中关于温度场有限元方程的推导，就涉及到了这种基于势能泛函的方法。在渗流以及声场中势能泛函法也同样可行。可见势能法是一种适应性较广的方法。

　　我就有这样一个想法，关于其他学科，譬如控制系统的最优设计，机械零件的最优设计，甚至一些社会科学的问题是否也能够通过势能法求解呢?这里的势能就应该是广义的势能，可以没有明确的物理定义。当然由于学业繁重，同时能力有限，目前这些想法还没有亲自去实践。

　　那么是否就是说基于泛函方法就一定能够解决所有的与“场”有关的问题呢?不然，因为并不是所有的物理微分方程都能有与之对应的泛函提法。这就是泛函方法在解决这类问题时的弊端。因此，具有普遍性的方法并不意味着具有普适性(universality)。

　　正所谓“道可道，非常道;名可名，非常名”。道，可以理解为一种境界，一种游刃有余，来去自如的境界，一种以静制动，以不变应万变的境界。果真存在一种普适的方法，亦即“道”，那么这种方法必能阐明清楚，这与中国古代著名哲学家的思想相悖。由是，不存在着万能的方法，任何方法都有其局限性。

　　道不能“名”，并不意味着不可以被感悟。在学习有限元的过程中，一开始感觉很难;接着，在学习软件的使用过程中，逐渐掌握了有限元软件使用的技巧;然后再看比较浅显的《Introduction to Finite Elements in Engineering》书的过程中，认识到一种具有一定普遍性的势能泛函方法，利用势能方法，便能够不再记忆繁多的公式，直接推导有限元方程;再通过较为系统的学习变分法，认识到一种更为普遍的求解物理偏微分方程的方法，同时也认识到其局限性。

　　在整个过程中，实践与学习，思考再实践再学习贯穿始终。虽然没有找到求解物理偏微分方程的普适方法(实际上也不存在)，但是却感悟到一个道理，不要被看似极其复杂的事物吓到，任何事物都是可以通过学习，实践，思考这个反复的过程感知的。不仅仅是有限元，其他许多复杂的学科，只要遵循这个过程，再加上足够的努力和耐心同样可以攻克。推广到世间万物，人间万事，莫不如此。苏轼有词云：“尘心消尽道心平,江南与塞北,何处不堪行”，说的就是一种以不变应万变的境界。

　　诚然，有限元方法的相关数学理论还是相当复杂的，我只是初涉皮毛而已。但是，在这个过程中领悟到的一点东西却会伴随着我，使得我在学习和工作中，将能够游刃有余，以不变应万变。

　　本文来源于新浪陌上野草的博客