提纯算法：COINV模态参数识别新算法

weixin

　　摘要：
　　本文提出的提纯算法，将传统的密集模态解耦转化到了简单的频响函数提纯，参数识别过程也不需要稳定图，计算速度有极大的提高。提纯算法是目前所有模态识别算法中，唯一对密集模态参数识别能达到实时级的算法。MIMO试验只要参考点数量合适，即使能量占比很小的模态，通过提纯算法也可得到非常协调的模态振型，精确的模态频率和阻尼。提纯算法尤其适用于耦合严重的超大阻尼模态试验，提纯后的FRF已完成了模态解耦，能直观显示模态的频率和阻尼。

　　一、简介

　　飞机地面振动试验 (GVT) 之一为纯模态试验[1] 。在试验过程中，若干个激振器固定在某阶模态的频率同时激励。 通过调节每个激振器的大小和方向，可激励出纯模态，直接得到模态振型。这套机理可借鉴到试验模态分析 (EMA) 和运行状态模态分析 (OMA) 的参数识别，对具有共同分母的频响函数FRF或半谱HSP进行提纯[2~4]，得到参数识别的提纯算法。

　　对单输入多输出SIMO或多输入单输出MISO模态试验，FRF函数矩阵的一行或一列已知，这些FRF具有相同的分母，决定了模态的频率和阻尼。FRF由多阶模态叠加而成。只要为每个FRF找到合适的权系数，计权相加后可得到只含一阶模态的新FRF，此即所谓的提纯过程。由此再识别得到模态的频率和阻尼。改变权系数，可得到其它阶的模态频率和阻尼。

　　对于多输入多输出MIMO模态试验，多行或多列FRF已知，把一行或一列FRF看成一组，为每组FRF找到一个合适的权系数，同测点不同组频响函数计权相加后可得到一组只含一阶模态的FRF，此即所谓的MIMO提纯过程。由这组提纯后的FRF，再识别得到模态的频率，阻尼和振型。改变权系数，可得到其它阶的提纯FRF，识别模态频率，阻尼和振型。

　　对于EMA的MIMO试验，通过多变量指示函数 (MvMIF)[5,6]，可计算得到权系数，进行提纯。当MvMIF的数值小于0.1，可通过FRF虚部直接得到模态振型。

　　对于EMA和OMA的MIMO试验，通过复模态指示函数 (CMIF)[2,3]，可计算得到权系数，进行提纯。

　　当模态密集时，需要适当增加MIMO试验的参考点数目。

　　二、理论推导

　　1、SIMO或MISO EMA模态试验
　　对于SIMO或MISO的EMA试验，FRF的一行或一列已知。

　　激励点和响应点之间的FRF可写成：

　　其中，i 为激励点，j 为响应点，r 为模态阶数，n 为频率分析区间内总的模态阶数，mr 为广义模态质量。

　　上式常写成

　　此处*为复共扼， Ar 为复留数，且

　　当Ar 为纯虚数，Ar 的实部为0，Ar*=-Ar 。由激励点和响应点之间的FRF公式

　　ΨirΨjr 为实数。此处开始，本小节模态振型假定为实数。

　　假定采用质量归一提取振型，激励点和响应点之间的FRF公式可重写为：

　　所有FRF有共同的分母。在对某阶模态进行参数识别时，需要考虑其它阶模态的影响。

　　假定选中m个FRF通过权系数进行叠加，满足m≥n，合成得到新的FRF：

　　即：

　　假定采用质量归一提取振型，激励点和响应点之间的FRF公式可重写为：

　　此处r 是模态阶数，r≠k。只在一阶模态r=k， 为非零。归一化处理，令

　　这样，由式

　　可得到只含一阶模态的频响函数。不用考虑其它阶模态的影响，通过新的FRF可识别得到精确的模态频率和阻尼。

　　当所有模态的频率和阻尼已知后，由原始的FRF可逐点提取模态振型。

　　为了得到只含单阶模态的FRF，需要先计算得到实系数αj (j=1,2,…m)。

　　单阶模态加速度或位移的频响函数如图1所示：

　　图1 单自由度FRF实部和虚部

　　本小节此后的频响函数类型都看作加速度或位移。对于速度类型的频响函数，实部和虚部需要交换。对于OMA的半谱，可看成速度类型。

　　在图1中，以模态频率为中心，选择一个频率区间。在此频率区间外，虚部和实部之比的绝对值为：

　　确保μ<0.01，频率范围是

　　  · 当ξr<0.005，外部频率区间为ω<0.62ωr，ω>1.62ωr


　　  · 当ξr<0.001，外部频率区间为ω<0.90ωr，ω>1.11ωr


　　在所有FRF中，选m个虚部绝对值较大的FRF或全体FRF。

　　假设在频率区间为FRF谱线条数为N，因此求实系数αk的方程为

　　简写为

　　在上式中，T表示转置矩阵。HI为FRF虚部。元素HIij，当i 不为0，为频率区间外的谱线序号;i=0表示为频率区间内谱峰的位置，允许有小的误差，不会对识别参数的精度造成影响。j为FRF的点号。实系数αk的方程中，右边矩阵的第一个元素为1，也可假设成其它的常数。

　　从上式得到最小二乘解为

　　即

　　对于SIMO或MISO试验，以上算法的明显缺点是不适合密集模态或大阻尼模态。

　　如两个靠近的模态频率位置大于2条谱线，即频率差大于2Δf，此处 Δf=SF/N，SF为采样频率，N为进行FRF分析的FFT点数。这两阶的模态参数可识别出来。

　　注意到图1，模态频率位置处频响函数的实部为0，因此在实系数αk的方程中增加一行，新的方程为

　　两阶位置靠近的模态可以分开。新增的一行是HR，FRF实部，位于FRF主峰值的位置，和第一行元素所在位置相同。

　　对于包含只含一阶模态的FRF，

　　在由式

　　决定的频率区间内，需要识别三个参数ωr，ξr，Φr。方程为

　　此处HRk为H的实部，HIk为H的虚部，k为谱线序号，ωk为第k 条谱线的ω，N为频率区间内谱线总数。

　　简化成

　　方程的最小二程解为

　　此处X=[X1  X2  X3]T，因此

　　得到了模态频率，阻尼和参考点的振型。根据这些识别出的参数，可得到合成的理论FRF。合成的理论FRF和合成的纯FRF的吻合程度，反映了识别出的模态参数的精度。当吻合程度不好时，其可能的原因有：在选定的频带区间，模态不够纯，即相邻模态的影响没有完全消除;或模态阻尼很大而选定的频率区间宽度不够。

　　2、SIMO或 MISO OMA模态试验

　　上式中，矢量αm×1为复数，上式改写为

　　3、MIMO试验通过MvMIF计算
　　对MIMO试验，多变量指示函数MvMIF可直接用来计算系数，从而构造出一组纯FRF。

　　已知的FRF矩阵为Hq×p，q为总的响应点，p为激励点个数。

　　实系数可看成激励力矢量Fp×1，‖F‖=1，一组新的FRF为 (HF)q×1。因此，问题和飞机GVT纯模态试验相同，可定义为寻找激励力矢量，使得

　　

       在每条谱线上，定义矩阵

　　从式

　　得到

　　因此

　　在每条谱线，对下面的实对称矩阵进行奇异值分解

　　此处S为从大到小排列的实对角阵，U为归一化的实矩阵，有UUT=I。I 为单位阵。

　　多变量指示函数MvMIF曲线可以画出，如图2所示。

　　图2 MvMIF曲线

　　有p个激励点，就有p条MvMIF曲线，每条曲线由对角阵S相同序号的元素构成。

　　由MvMIF曲线的最小值点，可找到模态的位置。实系数为对应此最小奇异值的矩阵U的相应的一列。

　　当系数知道后，可得到一组提纯后的新频响函数FRF(HF)q×1 。当MvMIF的值小于0.1，模态振型可通过相应谱线位置FRF的虚部直接得到。

　　MvMIF最小值依赖于激励的位置和数量，当有4阶模态密集相邻时，至少需要3个激励点。只要激励点数量足够，而且位置分布适当，即使重根也能轻易解耦。

　　当一组提纯后的FRF得到后，下式

　　可扩展为

　　此处在元素iHR和iHI中，i 表示一组FRF中的第i 个FRF，一组共有q个。

　　直接求解上式很费时，从上式可得到等式

　　可先求出模态频率和阻尼。

　　然后，由在每条谱线对实对称矩阵进行奇异值分解方程，求出模态振型

　　对于质量归一，存在等式

　　此处Ψv可看成单输入多输出SIMO系统的虚拟激励点，满足

　　Ψ1，Ψ2，…，Ψp 为激励点对应的振型。

　　由式

　　推导出

　　由上式，可计算得到Ψv。第r 阶模态的实际振型为

　　4、MIMO试验通过CMIF计算

对于OMA试验以及FRF相干较差的EMA试验，MvMIF曲线无法清楚指定模态所在的位置，而复模态指示函数CMIF却可以。对某一频率处的FRF矩阵进行Hq×p进行复奇异值分解

　　此处Σ为正的实对角阵，元素按从大到小的顺序排列。U为复矩阵， UUH=Iq×q，I 为单位阵。V为复矩阵，VVH=Ip×p， I 为单位阵。

　　各组的加权系数由下面复数方程得到

　　写成实数的方式为

　　将不同频率处Σ相同秩的元素连成曲线，得到了复模态指示函数，如图3所示。在曲线的最大值点，对应一阶模态。绝大部分模态在第一条曲线上，U 矩阵和V 矩阵的第一列和第一条曲线对应。U 矩阵的一列和模态振型成比例，V 矩阵的一列和模态参与因子成比例。当模态比较密集或有重根时，模态也有可能在CMIF的第二条或第三条曲线上。

　　图3 CMIF曲线

　　首先从CMIF曲线确定模态频率所在的位置和在第几条CMIF曲线上，并得到U 矩阵中和谱线的秩相应的一列矢量uq×1 。

　　β为待定的复系数。此处，振型Ψq×1 为复数。

　　假定从对某一频率处的FRF矩阵进行Hq×p进行复奇异值分解公式CMIF算法得到的模态振型是可靠的。一组复系数νi(i=1,2,…p) 为矩阵V的一列νp×1 。有

　　此处σ 为对角阵Σ的一个和CMIF曲线对应的元素，即 CMIF曲线的值。

　　对于提纯后的FRF，有

　　此处ω0为CMIF最大值点对应的频率。

　　对于提纯后的FRF，只有一阶模态，由

　　可得

　　此处最前的p点振型和参考点位置相同。

　　由下式

　　可得到下面等式

　　或改写为

　　此处

　　由式

　　可写成矩阵的形式

　　此处元素iHR 和iHI，i 表示一组提纯后FRF的第i 个FRF。

　　对于q个提纯后的FRF， N为半功率带宽内谱线的条数，用于构建上式。通过最小二乘法求解上式。 再由A=ωr2，B=2ξrωr得到模态频率和阻尼。

　　当由上式，求出γ。再由式

　　求出β。

　　由式

　　得到模态振型。

　　三、工程实例

　　实例1：
　　这是在北航实验室完成的一个带方孔板的模态试验，只测和板垂直的方向，边界条件为自由。将4个传感器布在四个角，板在面内方向用钢丝绳悬挂，对垂直方向不造成约束，如图4所示。用锤子敲击所有的网格点，网格划分如图5所示。得到四组FRF，多变量指示函数MvMIF曲线如图4所示。

　　图4 带方孔板的模态试验

　　图5 模态试验测点的网格划分

　　将提纯算法得到的模态分析结果和特征系统实现算法ERA得到的分析结果进行比较，如表1所示：得到的模态频率和阻尼的结果非常一致。图6为对两种算法振型进行比较的Cross MAC结果，所得振型也非常一致。

　　表1 两种算法的分析结果比较范例

　　图6 提纯算法对ERA的Cross MAC

　　在以上的分析结果中，第6阶和第7阶模态非常接近。以上算例表明，提纯算法所得分析结果可靠，能识别密集模态。

　　实例2：
　　这是一个超大阻尼隔振台的模态试验，台子由工信部十院进行设计。台子长40米，宽7米，高0.7米，质量为1000公斤。前3阶刚体模态阻尼很大，阻尼比在20%到40%。这三阶大阻尼模态耦合在一起，造成模态参数用普通的参数识别算法很难识别，尤其是很难得到协调的模态振型。

　　考虑到结构的对称性，MIMO试验时选择4个角的垂直方向进行激励，得到了4组FRF。振动台面均匀分成了10*4的网格，共有55个测点。台面下和台面上的振动认为是相同的，只测量垂直方向。传感器采用国家地震局力学所设计生产的941B，测量速度。频率分析区间为0到8Hz。

　　图7 模态试验测点的网格划分

　　表2 分析结果

　　图8 4阶模态振型

　　前3阶模态严重耦合在一起，集总显示的FRF如图9所示。

　　图9 集总FRF显示

　　图10是ERA参数识别算法得到的稳定图，图中曲线为CMIF复模态指示函数曲线。

　　图10 ERA算法得到的稳定图

　　图11 PolyLSCF[3]算法得到的稳定图

　　图12 PolyIIR[4]算法得到的稳定图

　　由于耦合严重，三种算法的稳定图都不够清晰。ERA算法稍好一点，但得到的刚体模态仍有个别点振型不够协调。

　　为得到提纯后的FRF，各个激励点的系数如表3：

　　表3 构造提纯FRF的4个激励点的系数

　　四组FRF乘以表3中的系数，每次得到一组新的提纯后的FRF。图13为第1阶和第4阶提纯FRF集总显示，参数识别时可选不同的频率区间分别识别，得到的模态振型非常协调，如图8所示。图14为第2阶提纯FRF集总显示，图15为第3阶提纯FRF集总显示。通过式(46)求得的模态振型非常协调。

　　图13 第1阶和第4阶提纯FRF集总显示

　　图14 第2阶提纯FRF集总显示

　　图15 第3阶提纯FRF集总显示

　　四、结论

　　1、在SIMO和MISO试验，提纯算法能识别小阻尼以及频率相差大于2Δf的模态参数。

　　2、对MIMO试验, MvMIF理论可用来得到一组提纯的FRF。识别参数的精度依赖于MvMIF的最小值，由激励点个数和位置决定。当激励点数量足够且位置合适，即使重根的模态也容易识别。复模态指示函数CMIF的提纯算法，既可用于EMA试验也可用于OMA试验。

　　3、提纯FRF得到后，参数识别过程因为只需考虑一阶模态，非常简单，可看作实时完成。MIMO试验的FRF提纯因可以利用MvMIF或CMIF的数据，也可看作实时完成。提纯算法是目前所有模态识别算法中，唯一对密集模态参数识别能达到实时级的算法。

　　4、从工程实例可以看出，对于耦合严重或者超大阻尼的模态试验，提纯后的FRF已完成了模态解耦，能直观显示模态的频率和阻尼。

　　5、新算法进一步发展了多变量指示MvMIF和复变量指示函数CMIF的理论。以前这两种指示函数只能用来指示模态的位置，提纯算法利用它们可进一步直接识别出所有的模态参数，即模态频率、模态阻尼和模态振型。MvMIF指示函数值的大小反映了激振器的数量是否足够以及位置是否适当。

　　参考文献：
　　[1] J. M. Liu,Q.H.Lu,H.Q. Ying, The Best Force Design of Pure Modal Test Based Upon a Singular Value Decomposition Approach, Advanced Aerospace Applications, Volume 1,Conference Proceedings of the Society for Experimental Mechanics Series, 2011, Volume 4, 119-129, DOI: 10.1007/978-1-4419-9302-1_11


　　[2] W.Heylen, S.Lammeans, P.Sas, Modal Analysis Theory and Testing, K. U. Leuven, 1998


　　[3] Robert E. Coleman, Ranall J.Allemang, Experimental Structural Dynamics, 2004, Author House


　　[4] J. M. Liu, S. W. Dong, M. Ying, S. Shen.Dynamic Parameters Identification Technology in Bridge Health Monitoring, Proceeding of the 14th ASIA PACIFIC VIBRATION CONFERENCE, 2011, Dec. HongKong


　　[5] William R. the Multivariate Mode Indicator Function in Modal Analysis Proc, 3th IMAC 1985


　　[6] Nash M. Use of the Multivariate Mode Indicator Function for Normal Mode Determination. Proc, 6th IMAC 1988

　　来源：东方所官网，文章收集于第二十七届全国振动与噪声应用学术会议论文集
　　原题：模态参数识别新算法提纯算法研究
　　作者：刘进明，刘峰，朱伟东