浅议傅里叶变换的特点及其三大局限性

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　　傅里叶变换的特点及其局限性

　　设函数f(t)在(-∞,+∞)内有定义，且使广义积分

　　都收敛，则称第一个公式定义的广义积分为函数f(t)的傅里叶变换，记为F{f(t)};第二个公式定义的广义积分为逆傅里叶变换，记为F⁻1{F(ω)}。傅里叶变换可以完成从时域到频域的转换(正变换)，也可以完成从频域到时域的转换(逆变换)，但不能同时具有时域和频域信息。其核函数是 ，由于三角函数具有填满整个空间的特性，其在物理空间中是双向无限延伸的正弦波，在积分变换中体现为积分范围从+∞到-∞。因此，傅里叶变换是先天的非局限性，它对信号f(t)中体现任何局部信息处理都是相同的。


　　而事实上，工程技术中的许多信号，如：语音信号、地震信号、心电图和各种电脉冲，他们的信号值只出现在一个短暂的时间间隔∆t内，以后快速减为零，∆t以外是未知的，可能为零，也可能是背景噪音，如果用第一个公式从信号中提取谱信号F(ω)，就要取无限的时间量，使用过去的及将来的信号只为计算单个频谱，不能反映出随时间变化的频率，实际上我们需要的是确定的某个时间间隔内的频谱。这就使人们想到改进傅里叶变换使其能用来处理某个确定时间范围内的信号。Gabor提出的窗口傅里叶变换就是一个有效的方法。

　　另外，傅里叶变换之所得到广泛应用与透镜能实现傅里叶变换是分不开的。由公式

　　其中物平面为(x0,y0)，焦平面为(xf,yf)，d0为物距，d1为象平面。要使U(fxf,yf)=F{t0(x0,y0)}，即准确实现傅里叶光学变换，只有在d1=d0=f时才能实现，否则将出现位相弯曲。并且，只有正透镜才能实现傅里叶变换，这些限制给工程技术中无疑增加了困难。这使得人们不得不寻求新得的方法，分数傅立叶变换不要求严频谱面，可根据需要在既包含空域信息也包括空频域信息的平面上进行处理，这使光学信息处理更具灵活性。

　　局限性一：傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能
　　傅里叶变换及其逆变换表示如下：

　　由以上两式可知，傅里叶变换是一种整体变换，对信号的表征要么完全在时域内，要么完全在频域内，ω和t是互相排斥的两个变量。用傅里叶变换的方法得到某一个频率ω0的频谱分量S(ω0)，必须从-∞~+∞的整个时间轴上进行积分。如果要从频谱得到信号在某一时刻t0的值s(t0)，则需要对S(ω)在整个频率轴上进行积分。因此，傅里叶变换得到的是信号s(t)在整个时间范围内的频率特性，它不能告诉人们在某段时间里信号发生了什么变化，也无法获得某一频率出现的时刻信息，因此，它不具有时间和频率的定位功能。

　　局限性二：傅里叶变换对于非平稳信号的局限性
　　信号的瞬时频率，表示了信号的谱峰在时间-频率平面上的位置及其随时间的变化情况，一般平稳信号的瞬时频率为常数，而非平稳信号的瞬时频率是时间t的函数。从傅里叶变换变换的表达式可以看出，S(ω)是单变量ω的函数，信号的傅里叶变换不随时间的变化而变化，因此，傅里叶变换仅仅适用于平稳信号。但是，在实际工作中，我们分析和处理的往往是时变的或非平稳的信号，它们的频率随时间变化而变化，其相关函数、功率谱等也是时变信号，用傅里叶变换进行分析，得到的信号频谱反映的是整体信号中包含的某一频率分量的平均值。所以傅里叶变换不能反映信号瞬时频率随时间的变化情况，仅仅适用于分析平稳信号。对频率随时间变化的非平稳信号，傅里叶变换只能给出其总体效果，不能完整地把握信号在某一时刻的本质特征。

　　局限性三：傅里叶变换在时间和频率分辨率上的局限性
　　分辨率是信号处理的基本概念之一，包括频率分辨率和时间分辨率。在时域分析中，信号处理的目标是尽可能地同时获得高的时间分辨率和频率分辨率。然而，可以证明时域窗和频域窗乘积恒定且大于等于1/2，也即不可能同时获得高的时频分辨率，这就是著名的不确定性原理。傅里叶变换在这方面的表现尤其不尽如人意。

　　傅里叶变换可以改写成内积的形式，即：

　　由于傅里叶变换等效于s(t)和基函数 做内积，而对不同的ω构成一族正交基，因此S(ω)精确地反映了s(t)在该频率点的分量大小。基函数在频域是位于ω处的δ函数，因此，当用傅里叶变换来分析信号的频域特性时，具有最好的频率分辨率。但是，在时域对应的是正弦函数，其在时域的持续时间是-∞~+∞，因此，其时域分辨率最差。对于傅里叶逆变换，分辨率的情况正好相反。


　　这一结果既体现了信号的时频不确定性原理，也反映了傅里叶变换在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。显然，傅里叶变换本身不可能根据信号的特性来自动调节时域和频域的分辨率。

　　来源：根据唐前进、高志华的《傅里叶变换的局限性及其改进方法》和马耀庭、邵毅全的《傅里叶变换在应用中的局限性及克服方法》整理

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写的很详细！