振动信号处理基础知识：功率谱和频谱有什么区别？

weixin

　　功率谱的基本概念

　　在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后，将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度(power spectral density, PSD)或者谱功率分布(spectral power distribution, SPD)。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数(W/Hz)表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数(W/nm)来表示。

　　功率谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。功率谱密度函数是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值与频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值与频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均(time average)概念。功率谱指的是信号在每个频率分量上的功率，频谱其实是一个幅度谱，只是信号在各个分量上的幅度值。因为通信中一般对于信号的分析都是把信号看作电压值，所以功率就是电压的平方再除以电阻值。为了分析简单归一化，令R=1，这时候功率谱就是频谱模的平方了。模也就是实部分量和虚部分量平方和的开方，故功率谱保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号，其功率谱是可能相同的。

　　功率谱和频谱有两个重要区别

　　其一，功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数;而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。

　　其二，功率概念和幅度概念的差别，我们只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在及其Fourier变换是否收敛;而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的，该样本的Fourier变换是否收敛。

　　举例：

　　若一个确定信号f(t)，-∞＜t＜∞，满足狄氏条件，且绝对可积，即满足：

　　则f(t)的傅里叶变换存在，为：

　　S(ω)与s(t)满足Parseval定理：

　　一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但其平均功率却是有限值，即：

　　若f(t)是功率有限信号，从f(t)中截取t≤T/2的一段，得到一个截断函数fT(t)，如下图所示。

　　该截断函数可以表示为：

　　如果T是有限值，则fT(t)的能量也是有限的。令fT(t)的傅里叶变换为FT(ω)，则利用Parseval定理fT(t)的能量ET可表示为：

　　因为，

　　所以f(t)的平均功率为：

　　当T→∞时，fT(t)→f(t)，此时FT(ω) 2/T可能趋近于一极限。假若此极限存在，定义它是f(t)的功率谱密度函数，简称功率谱，记作s(ω)。这样便得到f(t)的功率谱为：

　　由此可得：

　　由上式可见，功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况，也就是说，它反映了信号功率在频域的分布状况。显然，功率谱曲线S(ω)所覆盖的面积在数值上等于信号的平均功率。S(ω)是频率ω的实偶函数，它保留了频谱FT(ω)的幅度信息而丢掉了相位信息。因此，凡是具有同样幅度谱而相位谱不同的信号都有相同的功率谱。

　　来源：百度文库《随机振动的功率谱分析》由LWahching分享

hcharlie

关于功率谱和频谱，前面做了很精彩的阐述。但我觉得太偏理论了，对于大部分工程师和同学们来说，更关心自己的问题如何去套用这些理论，他们首先要了解自己的问题在无穷域（绝对值）的积分是否收敛，然后才能确定怎么做，这对于大多数初学者来讲，是极困难的。
这里说的是振动信号的处理，工程师们碰到的信号，没有一个是无穷域的，即使是现在的“大数据”也是有限的，有限域内不存在积分是无穷大的问题，技术上做DFT，FFT，PSD都没有困难，都能得到数据结果，那么究竟用频谱（FFT）还是功率谱（PSD）？
有了这些理论基础，就可以根据自己的问题作出判断。首先要明确我们的有限域的问题只能接近无限域的问题，理论上的讲究精确，准确无误，在工程上只能做到近似，在一定的误差范围之内，所以工程师们要记住不仅要得到问题的解，还要对自己的解的误差范围做出估计。
既然在正式工作之前要确定自己研究的问题的类型，所以本人初步做下述情况作参考：
1）正弦信号或周期信号，用频谱法，做整数周期的DFT，FFT得到精确解，如果不是整数周期，就有误差，为了减小误差选择加不同的窗。记住，凡是加窗，得到的都是近似解；
2）稳态（各态历经）随机，用PSD法求功率谱密度估计，既然是估计，为了提高估计的精度，需要做多帧的PSD平均；
3）冲击响应，用DFT，FFT做频谱；
4）机器的振动，接近周期振动；
5）汽车飞机桥梁的振动接近随机；
6）直升机的振动，接近正弦加随机，其随机部分用PSD法，正弦部分用频谱法，分两次做；
7）等等。。。。

xww0.1

没有耐心把这些公式推一遍啊

xww0.1

hcharlie 发表于 2017-10-9 18:07
关于功率谱和频谱，前面做了很精彩的阐述。但我觉得太偏理论了，对于大部分工程师和同学们来说，更关心自己 ...

说到底还是基本功不行啊，看来只能闷着头搞一遍了，欲哭无泪啊

eastar

xww0.1 发表于 2017-10-9 20:27
说到底还是基本功不行啊，看来只能闷着头搞一遍了，欲哭无泪啊

这几个公式还是比较好推的吧

xww0.1

eastar 发表于 2017-10-12 13:24
这几个公式还是比较好推的吧

基础非常差，得一点一点来

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谢谢，楼主的分享。

yzh166

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