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[结构分析] 自由模态与约束模态的理论基础

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发表于 2016-3-28 11:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  网上经常看到一些朋友询问关于自由模态与约束模态的问题,而且看到了很多不同的说法。而最近又有朋友向我问到了这个问题,我想,还是彻底地解决这个问题为好。而要彻底解决它,就需要考察其理论基础。
  所以这篇文章专门去看看它的理论底层。
  首先我们要明确,无论是自由模态还是约束模态,都属于模态分析的范畴。
  那么什么是模态分析呢?这个概念来自于《机械振动》。于是我们到《机械振动》中去看看。
  考察一个三自由度的例子

1.png

  现在我们要对该三自由度系统列动力学方程。这很容易,只需要分别取出每个质量块,使用牛顿第二定律就好
2.png

  这样就有三个微分方程,用矩阵的形式整理这三个方程,得到
3.png

  其中

4.png

  这里的[m][k][c]分别是质量矩阵,刚度矩阵和阻尼矩阵。而{F(t)}是力向量。


  下面我们来考虑模态分析。

  所谓模态分析,是取力向量为0,就是说系统不受外力;而且忽略阻尼,则上述方程变成

5.png

  下面的任务是求解这个微分方程组

  这种解很难找到,于是我们假设了一个解的形式为(很有意思的是,这种形式的解刚好是正确的)

6.png

  将该假设的解代入到上述方程中,得到
7.png


  整理上述方程组,得到

8.png

  该方程组的左边只与时间t有关,而右边与时间t无关。如果要这两边相等,除非两端都等于一个常数。例如都等于 9.png ,于是有
10.png       (1)

  以及

11.png (2)



  对于(1)式,从《高等数学》的二阶常系数微分方程的解可以知道,其解为


13.png


  对于(2)式,把它写成矩阵形式,并令

14.png


  可以得到
15.png


  提出位移向量{u},可以得到

16.png

  上述式子要有非零解,按照《线性代数》理论,有


17.png


  将该式子展开,可以得到

18.png

  根据它就可以解出各个 19.png

  可以证明,该方程有n个正实根,它们对应于系统的n个自然频率。假设没有重根,则这些频率可以从小到大排序,得到


20.png

  这其中,最小的这个就是基频。可见,系统有多少个自由度,就有多少个频率。

  在解出所有频率后,将某个频率代入到
21.png

  中,就可以得到此时的 22.png

  此即系统的模态向量或者振型向量。
  从以上推导中我们知道
  (1)有多少个自由度,就有多少个自然频率。
  (2)有多少个自然频率,就有多少个与自然频率相对应的模态向量。
  下面来说明所谓的约束模态与自由模态。

  仍旧取最前面的例子。

23.png


  首先,我们限制该问题为一维问题,如果取消左边的墙壁,成为
24.png


  则我们认为该对象与周围物体之间没有关系,那么所得到的模态就是约束模态。

  如果该对象与周围有关联,如下图


25.png
  则会得到约束模态

  如果右边再与周围关联,如下图

26.png


  得到的也是约束模态。
  总之,对于一个研究对象,凡是与周围对象发生了作用力的,那么得到的就是约束模态;如果与周围毫无关联的,得到的就是自由模态。
  从前面的方程推导过程可以看出,是约束模态还是自由模态,会导致方程中某些项发生改变,从而导致最后的


27.png
  中各矩阵不一样,从而得到的模态自然不一样。
  所以,网上有些说法,说约束模态是自由模态的子集。这显然是错误的。因为方程都发生了改变,谈不上子集的问题。
  那么,在实际问题中,到底是要分析约束模态还是自由模态?
  这完全取决于问题本身。
  如果研究对象在运动过程中与周围对象没有关联,例如火箭,飞机等的运动,那么做自由模态分析好了。
  如果研究对象在运动过程中与周围对象相关,例如联轴器,它必然要与轴相连,那么就需要使用约束模态了。
  实际上,自由模态/约束模态的概念,与《理论力学》中的自由体/非自由体的概念非常相似。在《理论力学》中,所谓自由体,就是与周围毫不关联的物体;而非自由体,就是受到了周围物体作用力的物体。这样,在《机械振动》中,所谓自由模态,是自由体的模态;而所谓的约束模态,是非自由体的模态。
  如此而已。



转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_9e19c10b0101i59r.html









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发表于 2017-11-24 08:30 | 显示全部楼层
把物体放在桌面上,没有紧固,属于约束吗?
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