线性振动系统的几何建模（或者叫张量模型）探讨

lijil168

     对线性振动系统而言，其数学模型一般用线性微分方程组描述，其本质是关于空间（x1,x2,等）与时间t的线性方程组,可看作解析几何的范畴。
   如果将系统当作空间的一个质点，我们要求解的是其在空间中随时间运动的轨迹，及其相关的特性。

                               
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     从质点运动轨迹图可以看出，其在现实时空坐标系（原基）上的投影即是我们看到的系统振动的样子:各模态运动加权叠加；其在主基（系统在其上解耦）上的投影即是系统主振动的样子：绕主轴做简谐运动；其在空间坐标系的投影被包络在与主轴对称的平行四边形内。从原基到主基的过渡矩阵（或者叫方向余弦阵）即为主振型矩阵，其每列为相应主模态的向量，等于相应的主轴在原基下的坐标列向量。
    从几何角度建模和分析很有意思。以下是我的思路：
    建立现实时空坐标系Er（原基），位移X=[x1;x2;...];加速度X''=[x1'';x2'';...];质量M=[m11,m12,..;m21,m22,...;...];刚度K=[k11,k12,..;k21,k22,...;...];外力F=[f1;f2;...];则力平衡方程为：MX''+KX=F。
    设系统主基为Ep,主基的对偶基为En，模态矩阵为Ф，将位移与加速度映射到Ep中：Xp=Ф-1X;Xp''=Ф-1X''；力映射到En中：Fn=ФTF;质量为Ep中的加速度到En中的力的线性变换张量，其坐标值为：Mnp=ФTMФ;刚度为Ep中的位移到En中的力的线性变换张量，其坐标值为：Knp=ФTKФ。力平衡方程仍然成立：MnpXp''+KnpXp=Fn。
    由于Mnp和Knp为对角阵，系统解耦。
    由矩阵运算可证明上述原理，ФTMФФ-1X'''+ФTKФФ-1X=ФTF;也可由张量运算证明。

注：力在Ep上的垂直投影即得到力在En上的坐标值，位移和加速度在Ep上的平行投影即得到其在Ep上的坐标值。至于为什么将力和位移分别分解到一对对偶坐标系上，我想，只有这样分解，才能在运算时既满足矢量的三角形运算法则，又满足能量守恒定律。

                               
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实例：对整车二自由度振动分析

                               
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系统运动轨迹图见第一副图，主模态和振动的关系见下图

                               
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可见，原基到主基的过渡矩阵即为模态矩阵，系统在主基上做主振动，在原基上做各模态的加权耦合振动，各模态的权重由系统的初始条件有关，或者说与系统的初始能量分布有关。系统以振型对能量进行调节，能量偏多则减，少则补，有些杀富济贫的感觉。当系统的初始能量分布正好在某一振型上时，系统以该模态频率做简谐振动，能量不做调节。如下图所示：

                               
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总之，我感觉系统似乎以主模态振型作为能量调节的基准，当能量不均时，各自由度的能量发生争夺而震荡，但各模态的能量不变，能量流动只在同一模态的不同自由度之间发生，而系统总企图向其最近的某一模态靠近。
个人体会，欢迎大家批评指正。

王城雅苑

看不太懂，但帮顶

lijil168

谢谢帮顶。我也是被模态及解耦的真正含义搞得头晕，花了很长时间去理解，最后想到从几何学的角度对其含义进行分析最为直观，而且希望这样可以认识到振动的现象及本质。不过这样的描述没见过，自己也不太好描述。下面对简单的2自由度系统的几何建模进行详细介绍，希望取到抛砖引玉的作用。
对无阻尼系统，其平衡方程很简单：MX''+KX=F，一般书上都是以矩阵运算进行解释，而没有揭示其表达式的本质。实际上本方程的本质应该是矢量方程，而矩阵不过是对矢量（也有张量）问题进进行坐标运算而已。
如果要明白矢量方程，需要理解张量的概念，因为M和K实际是张量，X''、X和F都是矢量，MX''和KX从物理上说都是力矢量，自然MX''+KX=F为力平衡方程。
如果不明白张量的概念的话，明白线性变换的概念，也可以理解MX''+KX=F的意思，M和K可以认为是线性变换矩阵，MX''将加速度矢量X''变换为惯性力矢量，KX将位移矢量X变换为弹性恢复力矢量。
从上述描述可看出，振动模型可用矢量几何方程来建立。对前面的汽车2自由度模型，前悬位移为x1,后悬位移为x2，则位移矢量为X=[x1;x2];对自由振动，力平衡方程为：MX''+KX=0，M和K可由影响系数法得到（可体会到张量的意义），也可由力平衡方程组变形得到，注意：x1,x2,K,M都是在同一个正交坐标系中度量。

几何模型的坐标系Er（原基）见上图：x1Ox2为空间平面，Ot为时间坐标轴。矢量X（t)为系统在时空坐标系中的位置，X1（t)为矢量X（t)在x1Ot平面的投影，X2（t)为矢量X（t)在x2Ot平面的投影。X（t)的轨迹为系统在Er中的运动轨迹，为图中绕时间轴旋转的黑线；X1（t)的轨迹为前悬的纵向运动轨迹，为图中波动的蓝线；X2（t)的轨迹为后悬的纵向运动轨迹，为图中波动的绿线。

对MX''+KX=0，X''=-M\K X。-M\K为非对角阵，系统不解耦。根据线性变换，可找到合适的新的坐标系，使变换矩阵-M\K成为对角阵，此坐标系为主基，见上图x1pOx2p,对-M\K进行特征值变换得到的特征矩阵就是原基到主基的过渡矩阵，也就是振型矩阵，振型矢量就构成主基的两坐标轴Ox1p和Ox2p，而特征值就是系统固有频率的平方。
从上图还可以看出，主轴（主基的坐标轴）为轨迹在空间面上投影——平行四边形的对称线，可以推测，系统的主轴与系统占据空间的惯性主轴是一致的。
轨迹在主轴与时间轴平面上投影就是系统的主振动，为各阶模态频率简谐振动，旋转上图就可见到主振动的样子，如下图


。。。

程瑞岩

真的是看不懂啊。

lijil168

lijil168.web-69.com/a/biancheng/matlab/2011/1113/584.html
没权限发超链接，请到地址栏打开，这是我做的实例，用matlab编的。
确实有些难于理解，不过我觉得理解后对系统解耦及系统建模问题的理解会有大的作用。
我们做的数学模型应该是对物理现象的客观描述，数学模型的性质应该和物理现象的性质一一对应！对动力学问题而言，研究的是力，位移及速度、加速度的关系，本质是矢量问题。
唉，什么时候才能找到能理解的呢？我在对2自由度系统能量流动情况进行试探时发现，当只向一自由度输入初始能量时，能量会向另一自由度（初始能量为0）流动，但是当改变能量的输入方向时，能量流动的比例不变，也就是说，假如给x1=1，x2=0,最多有40%的能量会传到x2的话;假如给x2=1，x1=0,也最多会有40%的能量会传到x1，想了很久也没想清楚它的物理原因。

SandVNo2

很普通的多自由度(或称多质量)系统，让你所谓的“几何建模”搞得如此“高深”。你要么是“大家”，要么是走火入魔

lijil168

确实是最简单的二自由度系统，我是初学者，自觉是走火入魔了，让您见笑了。也希望没有误导别人。
能否帮我解释一下，在解耦时，为什么对位移X用Ф-1X进行变换， 对力F却用Ф’F进行变换，对M和K用Ф’MФ和Ф’KФ 进行变换？

程瑞岩

真心没有看懂的。

memewoshi

memewoshi

这个问题根本不是个问题，解耦就是把原来耦合的几何关系等等，通过坐标变换，变换到另一个空间中。在此空间中，自由度之间是没关系的。为了研究的方便

lijil168

回复 10 # memewoshi 的帖子

很正确。可是为什么要把位移和力分别变换到不同的空间呢？对位移变换用的是振型矩阵的逆矩阵，而对力变换用的是振型矩阵的转置矩阵。

lijil168

回复 8 # 程瑞岩 的帖子

http://lijil168.web-69.com/a/biancheng/matlab/2011/1113/584.html
谢谢关注。网上有例子和matlab编的源程序，有兴趣可以试试。