对称边界的圆板弯曲振动问题的分离变量求解问题

shs2002

在看曹志远的板壳振动理论一书时，发现对于对称边界的圆板弯曲振动问题的分离变量求解中，直接就把sin项的系数给设为0了，而只剩下cos项了，这似乎表明所有振型都是关于对称轴对称的，但在扇形板的振动那一节却又出现了sin项，即反对称振型。难道圆板就不存在反对称振型了么，似乎说不过去啊，查了黄玉盈的书，说相角不影响振型形状，也给当0处理了，不过我觉得会影响各阶振型的相对位置啊，再看其他书，好么，直接都设为cos项，sin提都不提一下了。请此地高手赐教啊！

shs2002

没人顶，自己来。
再表述清楚一点，就是：

为什么在薄圆板弯曲振动求解时把振型函数设为R（r）*cos（n.theta），而直接把sin（n*theta）的系数设为0呢，难道只存在对称振型么？事实上，在两端简支梁的振型函数就能看出来，既有对称振型，也有反对称振型的，而对圆板（即便是对称边界），几乎所有的书上却都不提正弦项的事呢？

shs2002

看的人多回的人少啊。不过这几天偶似乎悟出点了，写出来供各位高手点评一下是否正确啊：
事实上，任何对称结构的固有振型均可分离为对称部分和反对称部分，因此对于圆板也是如此，不过由于这两个部分对应板的固有频率是相同的，因此大多数的书中都没有加以区分，而是根据实际振动中可能出现的对称载荷只会产生对称振型的主振动这一原理，将对称振型拿出来单独加以研究罢了，实际上是存在反对称振型的，这是一定的。
不知道上面的看法是否合理，请高手指教一二。

shdrsun

什么对称部分，反对称部分，不是很明白。用cos就对称？用sin就反对称了？不知道楼主是什么意思。
r*cos(n*theta)与r*sin(n*theta),就是差了相角而已。从形状上看是一样，由于圆板的对称性，同一个频率（重频）对应两个正交的振型，一个sin 一个cos，不应该是对称、反对称的概念吧
还有，楼主提到的“对称载荷只会产生对称振型的主振动这一原理”，能不能给解释一下呢？谢谢

shs2002

我的意思确实是这样的，cos就对称，sin就是反对称。虽然只差了相角，但是二者是正交的，因此在强迫振动的分析中当我们采用振型叠加法展开时究竟需不需要把两者都引入呢。我的想法是应该的，因为这两个振型都是圆板所固有的，我所不明白的是为什么我看的这些书（不乏经典教材啊）里面却都简单的取cos项呢，而不去管sin项的存在呢。至于对称载荷只会产生对称振型的主振动这句话，我并不是从书上看到的，而是一种理解（受书上内容的启发而已），有的书上在介绍圆板振动时，常常提到对称加载或反对称加载情况，并根据这种情况直接将强迫振动解设为cos或sin项，这不就表明了不存在反对称或对称振型了么，否则怎么解释呢。另外，从二自由度问题中也可以看出，如果你的初始条件符合某一振型，那么将不会出现另一阶振型，由此也可这么理解多自由度和弹性体系统吧。以上是一些浅见，未加以证明，说出来供您参考，请指教！

shdrsun

回复 5 # shs2002 的帖子

如果分析的是线性振动的话，我不觉得强迫振动分析把两者都引人有什么必要，教科书上的内容也说明了这一点，经典教材都是经过考验的，不会有什么原则性问题。求强迫振动设为w=∑q(t)*cos(n*theta)与设为w=∑q(t)*cos(n*theta+alpha)或者w=∑[q1(t)*cos(n*theta)+q2(t)*sin(n*theta)]都可以。很容易可以看出第二种设法和第三种设法可以通过q(t)与q1(t)、q2(t)的关系互化。而第一种设法与第二种设法，通过振动微分方程可知，没什么区别，cos项最后等式两边都约掉了。综合考虑，显然第一种设法即简单又正确，所以教材中都大量采用。
从弹性力学解的唯一性的角度思考（因为振动力学往大讲弹性动力学范畴，而弹性动力学比弹性力学仅多了惯性力项），我觉得没有必要考虑那么多，既然找到了一组满足振动微分方程的解，该解就是唯一的。个人愚见，欢迎探讨！
至于你后面提到对称载荷-对称振型的问题，请问是否方便提供参考书名，我还不是太明白，谢谢。

shs2002

回复 6 # shdrsun 的帖子

首先要先感谢shdrsun的交流！
针对您所提到的“求强迫振动设为w=∑q(t)*cos(n*theta)与设为w=∑q(t)*cos(n*theta+alpha)或者w=∑[q1(t)*cos(n*theta)+q2(t)*sin(n*theta)]都可以。很容易可以看出第二种设法和第三种设法可以通过q(t)与q1(t)、q2(t)的关系互化。而第一种设法与第二种设法，通过振动微分方程可知，没什么区别，cos项最后等式两边都约掉了”， 个人认为还是有区别的，原因在于，如果从单个振型来看，后两种设法确实一样，如果选择合适的初相位或者说坐标轴位置，那么这第一种设法也一致了。不过，如果从求和（就是那个西格玛）角度来看，那么会有所不同，因为我们设出受迫解的时候已经确定了坐标原点和坐标轴位置，因此不同倍频下的振型之间一定存在着相位差，所以不能将所有频率成分中的余弦项都设为初相位为0.这是其一。其二，即便从唯一性定理来看，也是不对的，因为这个定理要求我们所寻求到的一组解应该是完备的，而只有余弦项（cosx,cos2x,...）将不能在0-2pai范围内保持完备性，因而恰说明了这种设法应该是有前提的，即只针对了对称振型部分，而不讨论反对称振型部分。
另外，这个所谓“对称载荷产生对称振型”是一个理解，并非具有一般性，此处主要是针对边界对称的圆板问题才这么说的，其一般性我想以后有时间会加以深入研究的。这个内容您可以参考一下曹志远先生的《板壳振动理论》一书，如第73页上说道的“...若讨论以theta=0为轴对称的振型，则...”；以及第114页的“...对称载荷作用下反对称振型分量消失，....”。
欢迎继续探讨！！

shdrsun

回复 7 # shs2002 的帖子

我上一个帖子，曾强调过是线性振动。强调的原因是在将微分方程由PDE转为ODE的过程中可以用Galerkin法，解决求和符号的问题。考虑到我们讨论的是线性问题，不认为那个求和符号会对我们讨论的是设cos还是cos+sin有什么影响。不过，我现在好像有点赞同你的意见了，可能设一项只是针对求频率方便，对求响应而言可能还需两项都要。事实上，我也曾做过类似的问题，也是sin cos项都考虑进去了。有时间的话，可以看看设一项有什么不同。
解的唯一性那个问题 是我自己的一种理解 我不是做固体力学的，可能理解不深入，在我的印象里好像没有你提到的问题，这个还需要查一下。
对称振型-对称载荷的问题，我查了一下材料，并对楼主表示认同，但楼主“载荷产生振型”提法稍有欠妥，当然这只是表述的问题。

ldsbuilder

用cos，表示圆薄板在极坐标系下横振在半径方向引起的分量。
如果用sin，就表示周向分量了，是一种扭转分量。
郑兆昌那本书里也有讲到过。