gghhjj 发表于 2005-12-9 01:16

[转帖]模形式中的复分析与微分几何基础

原想在这篇短文中同时回答sage兄提出的关于多复变和微分几何刚性的问题,但是时间问题,我还是放在下次再多写一点。今天先粗略写点模形式中的复分析与微分几何的初步知识。<BR><BR>在模形式的学习中,先要掌握辛变换以及相关的一些重要概念。<BR>SL(2,R)作用于Poincare上半平面上,我们称为辛变换,其表达式为:<BR>z→M(z)=(az+b)/(bz+d),a,b,c,d为实数,且ad-bc=1。<BR>SL(2,R)模去反射变换后就是PSL(2,R)。<BR>辛变换下不变度量不是通常的Euclidean度量,而是Poincare度量:(ds)^2=(dxdx+dydy)/y^2.引进复变量ω=x+iy,则(ds)^2=dωdω*/(Imω)^2,我们这里以ω*代表ω的共轭复数,下同。<BR>Poincare上半平面可以共形变换到开单位圆盘:u^2+v^2&lt;1上,其上也有Poincare度量:(ds)^2=4(dudu+dvdv)/(1-(u^2+v^2))^2,引进复变量z=u+iv,则:(ds)^2=4dzdz*/(1-(|z|^2)^2。<BR>令ω=i(1-z)/(1+z)可以建立这两个Poincare度量都是共形变换。且由微分几何的简单计算可知这两者实际上不仅是共形变换,而且是等距变换。<BR>我们知道,Poincare上半平面可以作为Lobachevsky几何的整体实现,选取Poincare度量(ds)^2=(dxdx+dydy)/y^2,令:<BR>ω_1=dx/y<BR>ω_2=dy/y<BR>由于符号限制,我们这里以δ表示偏微分算子,则:<BR>e_1=y(δ/δx)<BR>e_2=y(δ/δy)<BR>经过计算可以得出ω_12=dx/y,进而计算其上测地线的相关量。可以发现,其上测地线为圆心在x轴上的半圆以及与x轴平行的直线,此时过测地线外一点可以作出无穷多条测地线与其不相交。但是,这里强调一点,在这无穷多条不相交的测地线中只有两条和其平行,其他的既不相交也不平行。这一点常常被许多非数学专业的认误解,因为他们认为不相交的一定平行。<BR><BR>在Poincare上半平面上不仅可以定义辛度量(Poincare度量)和辛长度元,而且可以定义Poincare面积元:dA= dxdy/y^2,这三者在辛变换下全都保持不变。<BR><BR>在模形式中,更感兴趣的是以下称为模变换得情形:<BR>z→M(z)=(az+b)/(bz+d),a,b,c,d为整数,且ad-bc=1<BR>这里唯一不同的是把a,b,c,d所属的域由R换成Z。<BR>模变换形成模变换群,同时我们还要研究模变换群的同余子群,熟知著名的Poincare级数就是构造同余子群模形式的一般方法。<BR>Poincare上半平面在模变换群下成为一个域,即基域,通过无穷远点的一点紧化形成一个三角形,称为,模三角形。以虚轴为对称轴粘合即得一个紧Riemann面。<BR>在上面引进的辛度量下可以计算出模三角形的辛面积为π/3。<BR>这些重要概念是模形式的入门知识,也可以从这个入门知识窥见模形式理论的博大精深,上面的一些知识只是对这个理论的管窥蠡测而已。<BR><BR>转自繁星客站:萍踪浪迹
页: [1]
查看完整版本: [转帖]模形式中的复分析与微分几何基础