zcf1976 发表于 2006-7-26 22:18

【讨论】两自由度非线性振动系统求解.

问题:双弹簧振子系统:
如图所示:


方程如下图所示:


请问如何求解其幅频特性并判断周期解的稳定性,用什么方法较好?我试了摄动法,只有近似解,无法得到幅频特性啊.
请大家不吝赐教.

feifeifool 发表于 2006-7-28 06:09

可以采用 数值计算的方法.
根据边界你的模型的边界条件可以选取不同的方法:
初始条件可以用龙格-库塔方法、newmark方法；
边值问题可以采用打靶法、有限差分法。
稳定性的问题可以考虑利用庞加莱映射来分析系统的稳定性。
至于幅频特性可以考虑利用求解的系统响应进行傅立叶变化得到。

zcf1976 发表于 2006-7-28 19:16

"稳定性的问题可以考虑利用庞加莱映射来分析系统的稳定性"
那是否可以用最大Lyapunov指数为0且唯一来说明系统的周期运动是稳定的?
用FFT变换的话那幅频特性随激励频率分岔的现象就不容易做出来了,您感觉呢?我想做出来立方非线性两自由度阻尼系统的幅频特性.并表现其固有的分岔特性.

[ 本帖最后由 zcf1976 于 2006-7-28 19:18 编辑 ]

21172485 发表于 2006-7-28 21:43

摄动法就可以啊
既然你得到了近似解，可以通过变换得到振幅和相位的方程组
判断稳定性，用Jacobi方法就可以了

zcf1976 发表于 2006-7-28 22:27

RE,楼上

楼上的朋友,我采用的是基本的小参数摄动方法,不是Linstedt-Pioncare法和平均法,你说的"通过变换得到振幅和相位的方程组"好像不好实现啊.这条路确实是一条可能的路,但资料上好像没有怎么谈及.
这里你提的振幅和相位的方程组是不是关于时间t的慢变函数?

21172485 发表于 2006-7-29 07:59

我当然知道你是小参数摄动法了
这要看你对响应的解是怎么假设的，振幅是慢变函数，相位是快变的
建议用摄动法中的多尺度法，参考《摄动方法导引》

zcf1976 发表于 2006-7-29 21:24

有了参考资料,讨论更热烈点

Thank 21172485

[ 本帖最后由 supervb 于 2006-12-18 13:37 编辑 ]

zcf1976 发表于 2006-8-2 09:08

RE

还想问一句,大家在非比例阻尼矩阵复模态解耦时,其质量和刚度阵都是对称的吗,如果质量和刚度矩阵不对称怎么解耦,望明言.

sysh320 发表于 2006-8-3 11:28

手算也可以吧

zcf1976 发表于 2006-10-30 11:26

我在用手推算,但遇到不少问题

大家看这是上述两个自由度方程的二阶近似方程组,里面含有
e^(jω01T0)和e^(jω02T0)两项,其中ω01和ω02是第一个自由度
和第二个自由度的固有频率.请问由消除久期项推导得到系统振幅
与相位的等式方程时是不是直接使第一个等式里面的e^(jω01T0)
项前的系数为0和第二个等式里面的e^(jω02T0)前的系数等于0.
题目本身还有很多问题要讨论,希望大家踊跃支招,在问题完成后
我会把答案整理贴出来.
公式中的A1和A2分别是自由度1和2幅值的复函数.
即Ai(t)=1/2*ai(t)*exp(j*θi(t))
要求解幅频特性的话必须要知道其导数D1A1和D1A2吧?

[ 本帖最后由 zcf1976 于 2006-10-30 11:56 编辑 ]

21172485 发表于 2006-10-30 11:53

基本正确
是使自由度1等式的右端中，所有含有e^(jω01T0)的系数等于零。
是使自由度2等式的右端中，所有含有e^(jω02T0)的系数等于零。

值得注意的是在多尺度法中有时候 ω01，和ω02需要注意数值的变化，有可能是互相转化的
那就产生了共振现象，这时候就需要合并同类项了

zcf1976 发表于 2006-10-30 12:01

多谢楼上的朋友.
可是大家有没有注意到上述平衡方程左边的z11和z21是耦合在一起的?
如果二者没有耦合的话,上述取法应该是对的,然后再考虑有或者没有
内共振的情况.但现在有耦合的话,会不会有所改变?
大家有没有关于两个自由度三次非线性振动的资料?
上传点也能加快问题的解决.

[ 本帖最后由 zcf1976 于 2006-10-30 12:02 编辑 ]

无水1324 发表于 2006-10-30 12:52

关于符号运算强烈推荐，maple这个软件，推算起来很方便

胡海岩的《应用非线性力学》中有一些摄动法的实例，大家可以参考一下

zcf1976 发表于 2006-10-30 18:27

原帖由 zcf1976 于 2006-10-30 12:01 发表
多谢楼上的朋友.
可是大家有没有注意到上述平衡方程左边的z11和z21是耦合在一起的?
如果二者没有耦合的话,上述取法应该是对的,然后再考虑有或者没有
内共振的情况.但现在有耦合的话,会不会有所改变?
大家有没 ...

"z11和z21是耦合在一起的",有没有人在思考这个问题呢?这难道不意味着z11
和z21解所设的形式要考虑二者之间的相互影响吗,即两个固有频率在z11和z21中
都出现,至于其振动幅值的大小则要看求解的结果了,是否?
欢迎踊跃发言

[ 本帖最后由 zcf1976 于 2006-10-30 18:29 编辑 ]

21172485 发表于 2006-10-30 22:06

回复 #13 zcf1976 的帖子

是耦合在一起的啊，但是你最后是不是要做幅频的分析呢？
如果是这样，方程的分析就是直接从可解性条件中就可解决，和方程左端无关了。
两个可解性条件联立就可以了
摄动方法导引中仔细看看例题吧
如果这个问题中的三次非线性项还是弱非线性的话，这个方法就没有太大问题
但是如果已经变为强非线性，那最好用数值方法了。
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