试验模态——模态振型
在《试验模态——留数的概念》中，由MDOF系统运动学方程，从动刚度矩阵求逆得到传递函数。基于逆矩阵与伴随矩阵及行列式的关系，明确了传递函数中极点及留数概念。今天，我们将进一步由留数引出“模态振型”，并介绍其性质及应用。我们在上篇文章中得到了传函的极点留数表达形式：
对于上篇中的2DOF系统实例：
通过取各矩阵中的对应元素，每两个自由度之间（j点输入，i点输出）的传函可表示为：
其中：Hij表示两个自由度间的系统传函；Aij,r 表示第r阶（r = 1, 2）两个自由度间的留数。
1、从留数到振型观察 (3) 中的留数矩阵，我们可以看到各阶留数矩阵均为对称矩阵。这一点从物理角度来说很好理解：线性系统满足互易性原理，j点输入引起的i点响应，必然与i点输入引起的j点响应相等，也就是Hij = Hji，因此必然有Aij = Aji。
在每阶模态下，因为各自由度传函的分母部分相同，所以传函的区别只决定于分子部分——留数。
我们取某阶留数矩阵中的任意一列，或根据互易性取任意一行，各自由度间的比例关系都是相同的，其反映的是这该阶模态下单位力激励引起各自由度振动响应的比例关系。如果将这个比例关系，在几何模型上绘制出来，就是这阶模态下结构的振动形状，即所谓modal shape，中文名词为模态振型（不知道当年行业专家为什么翻译为“振型”，而没有直译为“振形”，“模态振形”不是更好理解么？不禁让我想起“最小二乘”那个神翻译）。
例如，对于第1阶模态，两个自由度响应的比例关系为2:3，或者1:1.5，因此振型就可以表示为 ，……，同理对于第2阶模态，振型可以表示 ……。两阶振型动画如下，第1阶两个自由度同向运动，第2阶两个自由度反向运动。
2DOF 系统第 1 阶模态振型2DOF 系统第 2 阶模态振型
由此，基于任意一组模态振型向量，考虑到留数矩阵的对称性，留数矩阵总是可以表示为：
其中：Qr为一个系数常量，称为第r阶模态的比例因子或振型缩放因子。例如当两阶振型表示为 时，，，从而保证留数是一个定值。
将公式 (4) 代回公式 (1)，可得到传函的模态振型表达形式：
对于2DOF例子而言，即：
到此，我们通过留数矩阵直接引出了振型的概念，可能很多人看到这里会产生怀疑，好像这个过程比较简单，是不是不大对？
在国内大部分模态相关的书籍中，振型通常是从自由振动微分方程的特征值/特征向量中推导而来。也许在下一篇公众号中，我们可以简要说明为什么传函复变函数（留数）分析和振动微分方程求解（特征值/特征向量）这两种不同的数学方法，最终能够得到一样的结果。（实际上就是说清楚留数矩阵与动刚度矩阵特征向量之间的关系）
2、模态线性叠加理论下面我们来通过公式 (5) 的频响函数矩阵的振型表达形式，来证明模态线性叠加理论，即：“线性结构的动力学响应= 各阶模态振型向量的线性叠加”。
首先，为了简化表达，我们将公式 (5) 传函的后半段共轭部分省去（读者可以思考一下为什么可以省去）：
振动响应则为：
注意到力向量F为n维列向量，而 为n维行向量，二者相乘为常数，因此公式 (8) 中括号内的部分均为常数，由此可简化可表达为：
公式 (9) 即模态线性叠加理论。其中：，这样的一组系数被称为振动响应的模态空间坐标，或广义坐标。
实际上公式 (8) 就是我们后面将要讲到的模态空间解耦（读者可对比此处 与公式22中 的表达形式），只是这里还未明确比例因子和模态质量的关系（我们可以留待下一篇文章中进行说明）。
关于模态线性叠加理论的证明，还可以基于模态正交性，通过动刚度矩阵的特征向量构成一个线性独立空间，以坐标变换的角度来理解。这也是大部分书籍所采用的数学方法（振动微分方程的求解），这里不再赘述，感兴趣的读者可参考相关书籍（如参考文献1）。
下面简要介绍模态的另一个重要性质——模态正交性。模态正交性和模态线性叠加理论相结合，将可以从MDOF系统振动方程求解的角度证明模态空间的解耦。
3、模态正交性下面我们来说一下模态正交性。这个性质相信大家都已经耳熟能详了，具体证明过程可以参考任何一本模态书籍（如参考文献1），直接写出结论如下：
或表达为矩阵形式即：
我们仍以之前的2DOF系统为例，将得到的振型向量构成一个矩阵：
将其分别与刚度矩阵K、质量矩阵M进行如下运算，结果为对角阵：
对角阵元素m1，m2与k1，k2被称为各阶模态的模态质量和模态刚度（或称为广义质量、广义刚度），模态刚度、模态质量与模态极点λ1，λ2构成了类似于SDOF系统的对应关系：
4、模态空间解耦通过模态线性叠加理论和模态正交性，可以实现结构振动响应方程在模态空间的解耦，将复杂的MDOF问题简化为多个SDOF系统问题，这就是我们在动力学响应分析（模态叠加法）的基本原理。证明过程简述如下：
对于MDOF系统振动方程：
将位移x(t)表示为各阶模态振型的叠加：
带入振动方程 (16)，得到，
两边同时左乘 ：
假设系统阻尼为比例阻尼，根据模态正交性，可得到：
任取其中第 i 阶模态，并定义广义载荷：
通过求解上述单自由度系统的响应，我们就可以依次求出各阶模态坐标，最终再代回公式 (17) 得到物理空间的系统振动响应。
使用模态叠加法进行动力学响应计算，其好处一方面在于将MDOF系统问题简化为多个SDOF系统问题，计算速度大大加快；另一方面，系统的阻尼参数往往比较难以预先准确确定。阻尼机理的研究一直是学术上的一个难点，现有的各种阻尼模型都有一定的假设前提和局限，因此如果直接求解带阻尼参数的MDOF系统动力学响应，幅值精度往往不易保证。而用模态叠加法，却可以直接通过模态试验获取各阶模态的临界阻尼比，将其输入给系统模型，就可以实现准确的响应计算。
5、2DOF模态叠加法动力学响应分析实例以之前的2DOF系统为例，两阶固有频率 ，对应振型为 ，两阶模态质量、模态刚度为：m1=5.5 kg，m2=11/9 kg，k1=137.5 N/m，k2=1100/3 N/m。
1~200Hz扫频激励，自由度1和2上受力幅值分别为1N和2N；通过模态试验获取得到两阶模态的临界阻尼比为：ξ1=ξ2=0.2%，由SDOF系统 ，可知两阶模态阻尼为：c1=0.11 N/m/s，c2= 0.085N/m/s。
下面我们在模态空间对其振动响应进行求解。将振动方程转化到频域可得：
由此可得：
再由：
得到两个自由度的响应：
将1~200Hz带入公式 (25)，即可得到下图中两个自由度的位移响应谱（无需诧异于位移响应居然有1~2m，这只是因为当时例子中的参数取的比较随意，刚度的数量级过小了）：
图1 2DOF系统模态叠加法振动响应分析结果
6、模态正交性 vs. 模态振型向量正交性需要注意的是，上面所讲到的模态正交性，与模态振型向量之间的正交性是两个概念。模态正交性是指：对于实模态系统，模态振型向量关于质量矩阵、刚度矩阵总是存在正交性；而模态振型向量之间的正交性，需要两个向量本身正交（向量内积为零）。
实际上，实模态系统存在模态正交性，但模态振型向量之间并不一定正交。例如，上面两自由度系统例子中，两个模态向量 ，显然不是正交的（向量内积不等于零）。
在有的书上，这两个概念是混淆在一起的，印象中也的确没有哪本书进行了明确说明，但实际工程中经常被大家所混淆，因此笔者认为在这里值得花一些笔墨交代清楚。
大部分模态相关理论书籍，对于MDOF系统，都是从自由振动微分方程入手，将其变为广义特征值、特征向量（振型）问题进行求解，简述如下。
MDOF系统自由振动微分方程：
傅里叶变换后：
这就变成了广义特征值问题。所谓广义特征值，是由矩阵特征值问题引申而来，如公式 (27) 可以转化为：
这样，通过求矩阵KM-1 的特征值、特征向量，就可以完成方程的求解。而对于不同特征值对应的特征向量，如果是相互正交，条件是矩阵必须是实对称矩阵，但实际上当各自由度的质量不相等时，这并不是一个对称矩阵。例如本公众号的两自由度系统例子中：
KM-1显然不是对称矩阵，因此例子中的两阶模态振型向量并不正交。那么为什么经常会有人提到模态向量之间本身的正交，大体应该是以下原因：一来对于均质简单结构，振型向量的确是正交的；二来有些书籍不够严谨，没有考虑广义特征值问题的特殊性，想当然认为既然刚度矩阵和质量矩阵均为对称矩阵，则各阶模态振型（特征向量）就是正交的。另外，也有可能是模态置信准则（MAC）的广泛应用所带来的误解。下面就最后一点进行进一步说明。
我们知道MAC的计算公式为：
对于实模态，。显然，当p，q两阶模态的振型向量的确正交时，MAC值为0；反之，当两个振型向量只相差一个系数时，MAC值为1。我们经常用MAC来做试验模态结果的质量验证，或仿真与试验的对比验证。但如上所述，如果结构是单一均质的简单结构，理论上来讲，MAC可以等同于模态正交性的验证。而当结构比较复杂，或有多种材质时，MAC只能用于进行各阶模态独立/相似性的验证，而不能等同于模态正交性。
下面是两个金属方板模态有限元算例的简单对比，方板边长均为1m，厚度均为2cm，模型A（左）是均质钢板，而模型B（右）中30cm宽度的材质为钢，另外70cm宽度材质为铝。模态分析后，各自进行前10阶振型向量的MAC计算：
图2 均质方板模型A（左）及两种材质方板模型B（右）
图3 模型A模态振型MAC（左）及模型B模态振型MAC（右）
从结果中可以看出，对于均质结构，MAC说明了模态向量之间的确是正交的。而对于非均质结构，显然多阶模态振型间的MAC值不为0，也就说明这些模态向量并不正交。例如，第2阶和第4阶，两阶模态的MAC值为0.137（下图是两阶模态的振型对比）。
尽管MAC并不一定能真实反映模态正交性，但在试验模态分析中，使用MAC进行模态分析结果的验证仍然是一种很好的验证手段。例如，通过仔细对比分析MAC值较高的两阶模态，有助于试验工程师判定试验自由度个数是否足够（是否存在空间混叠），相邻模态是否是同一阶模态（如传感器附加质量影响）等问题。只是需要注意的一点是，对于复杂结构，没有必要追求振型向量的完全正交（即不要一味追求不同阶模态间的MAC值趋近于0）。
7、小结本篇文章中：
1）由上篇公众号文章的留数进一步展开，引出了模态振型的概念。各阶模态的留数矩阵与该阶模态的振型向量及其转置的乘积存在比例关系。
2）由传函的振型表达形式，证明了模态线性叠加理论。以上分析证明过程与一般书籍不同，但殊途同归，这恰恰说明了数学的美妙。
3）将模态线性叠加理论与模态正交性相结合，就可以将MDOF系统的结构振动问题解耦到模态空间，这样就可以通过模态叠加的方法，快速准确地进行结构动力学响应分析。
4）对模态正交性和模态向量正交这两个不同的概念进行了区分。需要说明的是：模态振型向量之间并不总是正交的，用MAC进行模态结果验证时，需要考虑结构的复杂程度。对于复杂结构避免一味追求不同阶模态向量的正交。
参考文献
李德葆, 陆秋海. 实验模态分析及其应用.科学出版社, 2001.
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