力学赏析：谈谈古建筑中的柱
“柱”在我国古建筑中具有承载上部结构的重要作用，有“屋之主”之称，更有“中流砥柱”之美名。柱从结构上可分为三个部分：柱头、柱身和柱础，同时又因各部分的比例、尺寸、形状、装饰不同，被分为多种柱式。不过，这种分类方法沿用了希腊罗马柱式的分类方法，我国的古建筑中的柱式实际上与希腊罗马柱式存在着许多不同之处。首先，希腊罗马柱式的柱头、柱身、柱础本质上是连接在一起的整体柱结构，因三部分外形及装饰不同，可分为希腊三柱式和罗马五柱式，如图1所示。
图1 希腊三柱式（左）和罗马五柱式（右）
其中，希腊三柱式中的多立克柱无柱础、柱头为倒圆锥台，柱身20条凹槽；爱奥尼柱有圆形柱础、柱身24条凹槽，柱头一对涡卷；柯林斯柱以柱头以茂盛的毛茛叶为装饰，更加富丽堂皇。到罗马时期，在希腊三柱式的基础上，增加了塔司干柱（柱身光滑无装饰）、混合柱（柱头混合爱奥尼柱与柯林斯柱的特点），成为罗马五柱式。
我国古建筑中柱之柱头、柱身、柱础则是独立三个部分，并不是一个整体，如图2所示。与希腊罗马多采用石材不同，我国古建筑中柱身一般为木材，由于木材的易腐性，一般会在柱身下垫衬一个石制的柱础，抬高柱身、起到防腐防潮的功能。柱头通常为斗拱，起着增加房屋的出檐悬挑，优化梁构件受力特征的功能。我国古建筑柱头与柱础不仅具有强烈的装饰性、同时又具有深刻的结构功能，是其与希腊罗马柱最大的不同。
图2 宋代建筑中柱结构
其次，我国古建筑中柱的分类更加多样。如图3所示，从柱身截面和立面看，我国古建筑中的柱可分为圆柱、方柱、棱柱、梭柱、瓜棱柱（瓜楞柱），异形柱等等。此外，还有许多模仿事物和人物的柱，如图4中所示的瓜棱柱（瓜楞柱）、束竹柱、人像柱等等。
图3 古建筑中柱的几何分类
图4 各类柱的实物图举例
除了依据外形进行分类之外，还有一种分类方法是依据柱的使用位置和结构功能进行分类，大致来说可分为三类：
1. 支撑房屋主体结构的柱
它们立于地面支撑梁坊，这类柱就是所谓的“屋之主”。如果这类柱位于屋檐最外一层，则称檐柱；而将檐柱里一层支撑梁架的柱，称为金柱（参见图5）。
图5 檐柱、金柱、瓜柱的位置
通常情况下，落地的长柱会组成柱网，共同支撑起屋顶，而布置在建筑纵向中线上（不包括山面上的柱），顶端支承脊槫（桁、檩）等柱统称为中柱（宋称分心柱）。此外，还有山柱和角柱，山柱指位于山墙内直顶屋脊的柱子，角柱即为房屋四角的柱子，由于角柱与横纵两个方向的梁坊相连构成框架柱，其受力较为复杂，在古建筑中占有重要地位（参见图6所示）。
图6 中柱示意图
2. 位于梁、坊之上的短柱
如在梁上支撑屋脊的脊瓜柱、支撑梁架的金瓜柱、在梁背上支撑梁枋的童柱等（参见图5）。瓜柱很短，因此在宋代有侏儒柱、蜀柱、童柱之称。据说瓜柱由垫木（就是垫一块木板的意思）发展而来，目的在于将梁垫高，随后发展为瓜柱。
3. 起连接作用的柱
如垂花柱，这类柱坐落于梁架上，向下半悬，如图7所示。此类柱不仅具有支撑上部结构的功能，而且还起着连接上下、横纵构件的作用（以垂花柱做柱网层的除外）。垂花柱最令人印象深刻的是它底部花型雕刻，因其多为莲花，因此也称为垂莲柱。垂莲柱多用于门楼、牌坊、亭台出檐处，俗称“占天不占地”，既节约用地，又极具装饰之美。
图7 集装饰性与功能性于一体的垂花柱
在我国漫长的历史长河中，“柱”已发展成为种类繁多、装饰优美且结构精巧的柱式体系，仅从“柱”的名称，就可以读出它的样式、位置和功能。而且，以现代力学知识来审视，我国古建筑中的“柱”与希腊罗马柱相比，还因其更加符合力学原理而处处体现着柱式构件设计的科学美。
在力学中，任何构件的设计和使用首先要满足其强度条件，柱构件也是如此。设材料的许用应用为[σ]，σ 为柱构件的实际应力，则强度条件记为
我国古建筑中，除去瓜柱等矮短的柱子外，一律做成上端直径小，下端直径大的形式，这种做法叫做“收分”，又称“收溜”。通常情况下，小式建筑收分的大小一般为柱高的1/100，大式建筑柱子的收分规定为7/1000，例如要求收分为3厘米，柱根直径为27厘米，则柱头收分后直径为24厘米。
如果分析立柱的轴力图，除了柱头的竖向载荷之外，柱本身由于自重的影响，轴力会在逐渐靠近柱脚的截面上逐渐增大，呈线性分布，如图8(a)所示。因此，对柱进行收分（参见图8(b)）制作，有将柱设计为等强度构件的意味。大自然中，树木正是在自然选择的条件下，成为一种下端粗、上端细的“收分”结构，柱构件的“收分”既能给人一种即视的稳定感和纤细杆，同时从粗到细的变化还能让人在欣赏柱式构件中体会的变化之美。
图8 立柱轴力图与收分的对应
柱式构件除了要满足强度条件之外，17世纪末，瑞士科学家欧拉 (Leonhard Euler, 1707-1783) 还发现了承压长构件的另外一种失效形式——压杆失稳，并得到了压杆发生失稳的最小载荷（即失稳临界载荷）与杆长度的平方成反比的关系，即
其中，C 是一个与材料常数和截面形状相关的常数。欧拉临界载荷说明，对于确定材料和确定截面形状的压杆，杆件越长就越容易发生失稳。通常情况下，工程上构件失稳时的临界应力要比强度应力小很多。
例如，已知松木的强度极限为σc=40MPa，将其制成宽30mm，厚5mm的矩形截面杆，当杆长30mm时，破坏时的压力为6000N。但如果杆长为1m时，杆件不发生破坏，但发生失稳，而且失稳时的压力仅为30N，仅为破坏压力的0.5%。可见，细长构件的失稳临界应力远小于材料强度极限，因此，柱或压杆在设计时必须考虑欧拉失稳。
图9 短柱和长柱的临界失效压力对比
19世纪，比利时桥梁专家拉马尔 (E. Lamarle, 1806-1875) 在欧拉的研究基础上，给出了压杆失稳的临界应力公式，并最早讨论了欧拉公式的适用范围。根据拉马尔的研究，欧拉临界失稳下的应力可通过下式求解
这里，λ=(μl/i)=√(μl)2A/I，为柔度系数，各字母的意义如下：μ 为长度因数，与约束有关：两端饺支为1；一端固定、一端自由为2；一端固定，一端饺支为0.7；两端固定为0.5。A 为柱的横截面积；l 为柱的长度；I 为柱弯曲时的截面惯性矩，圆截面为I=πD4/32。
如果以柔度系数λ为横坐标，以σcr 为纵坐标画出上式所示的临界应力与柔度系数之间的关系曲线，如图10中的虚线所示。显然当λ 趋近于0的时候，用上式求得的临界应力将趋于无穷大，这显然是不可能的。实际上，当材料内的应力达到其强度极限时，材料本身将会发生破坏，而不会发生失稳。
为了区分这种情况，依据压杆柔度将压杆区分为大柔度杆，中柔度杆和小柔度杆，即图10所示。大柔度杆是指压杆内应力小于比例极限时的情形；中柔度杆是指压杆内应力大于比例极限 (σp)，但小于强度极限 (σs 或σc) 时的情形；如果压杆内应力等于或大于强度极限 (σs 或σc)，则称为小柔度杆。
图10 大、中、小柔度杆失效应力的应用范围
令上式中的σcr 等于σp=28MP，并假定E=9.8GPa（木材力学指标离散性高，参考教材我设了一个值），可求得对应于比例极限的柔度系数为
认为当压杆（柱）内的平均应力超过比例极限（即柔度系数超过λp）时，但平均应力小于强度极限时，可采用经验公式进行求解，如图10中BC段。参考《工程力学》（北科大版），对于松木而言，经验公式参数可取为a=40MPa，b=0.203MPa。由于题目设定了松木的强度极限为σc=40MP，图10中水平直线段AB将消失，这意味着由松木制作的柱将被视为中、大柔度杆，但具体柔度系数要依据柱截面及其高度而定。
以圆柱为例（假定各方向发生失稳的能力相同），根据柔度系数λ 的公式，求出柔度系数与长径比（非圆柱时需要讨论柱长度与回转半径之比）的关系为
由于我国古建中的柱通常是直接或通过榫卯放置在柱础上，可以有一定的转角，因此可将下端简化为铰支座，同理柱头约束与柱础类似，也可简化为铰支座，因此，上式中可取μ=1。这时，柔度系数就是柱长径比（柱高与直径之比）的4倍。因此，依据上式可知，λp 对应的长径比为15。也就是说，当柱的长径比大于15时为大柔度杆，小于15时可视为中柔度杆。
宋《营造法式》中对柱式做了专门规定，长径比为9:1（柔度系数36）或8:1（柔度系数32）。到了明清时期，长径比拉长为10:1（柔度系数40）。经过计算可知，当柱的长径比为8:1时，代入上式得λ=32，再利用欧拉临界失稳下的应力求解公式可求得临界应力为
当柱的长径比为9:1时，代入柔度系数与长径比（非圆柱时需要讨论柱长度与回转半径之比）的关系式，得λ=32，再利用欧拉临界失稳下的应力求解公式可求得临界应力为
经过计算可知，当柱的长径比从8:1增加到9:1，长度增加12.5%，但临界应力只降低了约2.4%。众所周知，长柱可以增大房屋空间，可见在上述中柔度杆条件下，长柱更加经济合理。
罗马柱式的长径比一般在4:1-6:1之间，只有在一些大型的庙宇建筑中，可以达到8:1~10:1之间，如果考虑石材比木材具有更好的比例极限和强度极限，罗马柱在用材上不如我国古建中的柱式经济（更能发挥材料性能）。此外，由于我国古建筑柱具有独立柱头、柱础与柱身，在分析临界应力时，柱的长度l只包括柱身高度，而不考虑柱础和柱头高度，显然，如果考虑柱础、柱头，又可以在一定程度上增加房屋高度。
依据现代力学原理发现古建筑构件的科学美，获得从外在形式美到内涵科学美的升华，才能更好的理解和体会我国古代建筑的伟大成就，从而使得古代建筑元素继续在当代建筑设计中散发光芒。
作者注：感谢天津大学王振东教授、太原科技大学刘利亭老师对我的帮助和指导！
参考文献
李智敏柱式装饰设计研究. 中央美术学院. 硕士学位论文. 2010
北京科技大学、东北大学编《工程力学》高等教育出版社. 2008
https://www.jianzhuj.cn/news/1001046.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/518809794
来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。
页:
[1]