力学解析：古建筑中的榫卯连接（直榫）
榫卯 (sǔn mǎo) 是木工构件的典型连接方式，制作时先将两个需要连接的部件加工出凹凸接头，凸出部分称榫（或榫头，见图1左一所示）；凹进部分称卯（或榫眼、榫槽，见图1右一和右二所示），榫卯结构就是将榫头插入榫眼、榫槽，将两个或多个部件连为一体的连接结构。图1榫卯结构及其称谓：1榫端；2榫颊；3榫肩；4榫眼；5榫槽https://zhuanlan.zhihu.com/p/35202722
在我国传统木建筑中，有大木作和小木作之分。“大木作”指大木构件，常用作建筑物的骨干构架，对建筑物起主要的承载作用，如房屋的柱、梁、枋、檩等，大木作中的榫卯结构需要考虑其承载功能。“小木作”指使用小的木构件拼成大面积的图案，比如门窗、藻井、隔断等，这类构件中榫卯结构主要起连接作用，其承载功能处于次要地位。
古建筑中榫卯种类繁多、名目复杂。依据榫卯结构是否可见，可分为明榫、暗榫；依据榫头是否贯穿构件，又有透榫、半榫之分；而依据榫卯形状又可分为直榫、燕尾榫、馒头榫、十字榫、桁腕等等。尽管榫卯分类复杂，但从连接功能可以简单分为三类，即竖向构件连接榫卯、横向构件连接榫卯（交叉或直连）、以及横向与竖向构件连接榫卯等等。
直榫是一类最为典型和常用的卯接形式，其特征为榫颊为直面，依据榫肩特征，直榫又可进一步分为单肩榫、双肩榫、三肩榫、四肩榫、夹口榫、斜肩榫等（见图2所示）。这些都是“顾名思义”的定义，十分好记。本文将以竖向使用的直榫为例，尝试分析榫卯结构的受力特征，以增强对榫卯结构承载功能的理解和认识。
图2 直榫的分类图，从左向右依次为：单肩榫、双肩榫、三肩榫、四肩榫、夹口榫、斜肩榫。https://zhuanlan.zhihu.com/p/35202722
在斗拱组件中，坐斗会通过直榫与柱头连接在一起，如图3所示。但由于榫头通常不是在柱头上直接加工，而是先在柱头凿出榫眼，然后再将一根木销（钉）插入形成直榫，因此这种做法也获得了另外一个名称：栽销。通常情况下，榫卯不采用过盈配合，榫头尺寸一般小于卯眼尺寸0.1mm-0.2mm，并且在榫头收溜（类似于做倒角），这样做的目的是为了便于顺利将榫插入卯中。
图3 栽销示意图（张瑶等《榫卯的魅力》）
在立柱与柱顶石的结合处，也常用直榫实现竖向构件连接，这一类榫被称为管脚榫，如图4中图所示。管脚榫除了比栽销的体积大以外，其制作方式也不同，栽销将木销先栽入下部构件，然后将上部构件的卯眼扣在栽销上；管脚榫是在柱脚直接加工出榫头，然后在柱顶石（柱础）上打眼（称为海眼），然后将管脚榫插入。
图4 柱脚处的连接：（左）无榫卯，（中）管脚榫，（右）套顶榫 https://wenku.baidu.com/view/112261de9d3143323968011ca300a6c30c22f12d.html
清《工程做法则例》中规定：每柱径一尺，外加上下榫各长三寸。也就是说管脚榫的长度规定为柱径的3/10，在实际制作中通常在3/10-2/10之间。可能有的人会怀疑，这么小的榫头，在柱脚使用，不会被掰断吗？
“掰断”这个词换成力学的术语即为“弯曲破坏”，如果立柱上部载荷出现偏心加载时，的确会在柱脚产生弯矩，将管脚榫置于危险之中。如图5左图所示，若立柱承受偏心载荷F（图中蓝色虚线表示），可等效为沿立柱轴向的F 以及由于偏心产生的弯矩M，根据受力平衡柱脚将产生轴力FN 和弯矩MO。分别画出轴力FN 与弯矩MO 在柱脚截面的应力分布（假想其为一体）如图5右图所示。
图5 立柱的偏心受压
如果只考虑轴力FN，由于榫头的长度略小于卯眼深度（为了能安装进去），可认为榫头不受轴力作用，轴力由立柱的有效面积提供（立柱横截面减去榫头面积），因此，从轴力的角度看，榫头越小（有效面积越大）立柱承载能力越好。
只考虑弯矩MO 产生的应力分布，当榫头位于立柱中心时，榫头将位于受弯构件的中性层。由于中性层是构件中不受载荷的部分，也就是说立柱偏心弯曲时，柱脚榫头对于立柱抗弯性能没有贡献。
当然，这只是理想情况下的分析。真实条件下，立柱与柱顶石之间只能承受压力，不能受拉力，图5右图中由轴力和弯矩产生的应力分布叠加，假定弯矩不断增大时，立柱一侧将翘起离开柱顶石，如果持续增大，榫头将被拔出，并发生破坏。不过对于房屋立柱而言，由偏心载荷在柱脚形成的弯矩并不会太大，因为柱头与斗拱通过栽销连接，限定了斗拱在柱头的位置，从而使柱头压力尽可能与立柱轴线重合，而不产生偏心加载，这说明管脚榫基本不用担心柱头偏心加载产生的弯矩影响。
也正由于管脚榫基本不用担心来自柱头的载荷，因此，有些建筑中，立柱直接放置在柱顶石上，不用榫卯连接，如图4左图所示。特别是一些大型建筑，因其立柱直径较大，即便柱头载荷有略微偏心，其大直径也可以提供足够的抗倾覆力矩。
尽管管脚榫不需要担心来自柱头的载荷，但当房屋整体受到横向载荷时（如强风载荷），管脚榫就起到了关键作用。如图6所示四角亭，当其受横向载荷时，柱脚将产生两种内力：剪力和弯矩。对于弯矩而言，由于古建为整体结构，横向载荷将使得房屋整体倾覆，单个立柱并不因此产生弯矩，而是房屋自重和柱脚支撑力一起形成对房屋整体的抗倾覆力矩。
图6 四角亭受横向载荷的受力简析
设横向载荷自左向右，在极限情况下，只有最右侧立柱为支撑力，迎风面柱脚有被拔起的趋势。让我们先聚焦于迎风面立柱的管脚榫，此时管脚榫与石材发生挤压，从而形成抵抗拔出的摩擦力，这就是图7中柱脚拉力的由来。不过，古建筑的屋顶一般都非常重，可以提供较大的抵抗倾覆力矩，这使得房屋整体具有很好的稳定性。
图7 立柱管脚榫拉力的形成
现在，我们再来分析管脚榫的剪切破坏力，如图8所示，这是管脚榫面临的最重要的挑战。在一些地势较高、有强风的地区，管脚榫将变身为套顶榫，如图4右图所示。这种榫的长度一般为立柱露明部分的1/3-1/5，榫径约为柱径的1/2-4/5，长长的套顶榫穿透柱顶石，落脚于夯实的地基之上。加长的榫头可以抵抗房屋整体横向载荷的倾覆力矩，加粗的榫头可以增强抵抗柱脚的剪切破坏，使得柱脚的强度得到大大的改善。不过在抗剪切过程中，套顶榫也并非“独自战斗”，沉重的屋顶在柱脚与柱顶石之间有较大的正压力，这使得柱脚也有较大摩擦力，这成为套顶榫抵抗横向剪切破坏的第一道防线。
图8 立柱管脚榫拉力的形成
由此可见，管脚榫虽然以较小的形体穿插于大木之间，但因其位置和尺寸特征，在实际应用中，不大可能因柱头重力载荷发生压缩破坏和弯曲破坏。在横向载荷较大时，可通过加长、加粗榫头，变身为套顶榫，增强抵抗房屋整体的倾覆力矩和剪力。对于古建，房屋的自重对于管脚榫是至关重要的，不仅可以为房屋提供足够的抗倾覆力矩，同时还可以为柱脚提供较大的摩擦力，最大限度的保证了管脚榫的安全。
栽销榫与管脚榫的受力特征基本一致，对于竖向载荷，即便坐斗有一定的偏心（当然不会很大）也不会对栽销造成致命性的破坏，除非坐斗被整体压塌（木材顺纹受压每平方厘米大约可承受120公斤的力）。对于横向载荷，由于坐斗高度很短，几乎可以忽略横向载荷产生的弯矩。栽销的结构功能也以抗剪为主，这里仍有坐斗与柱头之间的摩擦力作为第一道防线。
小小的直榫通过恰当的位置安排，借助于周边大木的承载能力，既实现了自身的价值又保证了自身的安全，其精巧、精妙之用足以令人称赞不已！
原文注：特别感谢天津大学王振东教授在完成本文中对我的指导！
参考资料：
张瑶等. 榫卯的魅力. 化学工业出版社. 北京. 2021
康敏. 传统木构建筑榫卯连接静力性能研究. 北京交通大学硕士学位论文. 2010.12.
百度文库. 古建榫卯种类及其结构.
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来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。
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