应力圆：应力状态的可视化
应力圆，也称莫尔应力圆，是由德国著名的土木工程师莫尔 (Christian Otto Mohr, 1835-1918) 于1882年提出的一种描述一点处应力状态的图示法，该方法可直接得到最大主应力、切应力用以进行强度校核，应力圆法一经提出就受到广大工程师的青睐，成为结构工程师必须掌握的知识点之一。图1 Christian Otto Mohr (1835 –1918)来源：网络
理解莫尔应力圆，需要先解释一下提出应力圆的背景。以图2所示的拉杆为例，若求其上P 点的应力，方法如下：过P 点做一个假想截面A，并以P 点为基准取一微面积△A，设微面积上的内力为△F，则P 点的应力表示为
可见，求一点的应力，需先要过该点做一个假想截面A。问题在于，过一点可以做无穷多个假想截面，这意味着一点的应力表达有无穷多种（当所取截面不垂直于杆轴线时，会分解出正应力σ 和切应力τ），这无穷多种应力表达就表示了该点处的应力状态。
图2 过P 点可以做出无数多个截面
最早对一点处应力状态进行描述的是法国数学力学家柯西 (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857)。1822年，柯西以纳维的弹性理论为基础，提出了弹性力学的微元体分析法，如图3所示为四面体微元体，假设四面体的三个直角边均趋于0时，斜面就趋于一点，斜面上的应力就成了该点的应力。只要斜面取完所有可能的方向，则该点的所有应力表达就可以全部确定。
不过柯西的方法是解析法，即使用严谨的数学推导，得出应力的数学表达式（参见弹性理论的建立），这在工程应用上多少有些不方便，工程师们更喜欢用图形的方式表达各种结果，对于各种应力描述也希望有一种一目了然的图解法。
图3 柯西和他的四面体微元体来源：网络
在力学发展史上，一直都有零散的利用图示法求解力学问题，例如杠杆原理、力的分解与合成、对重心的讨论，拱和悬链线类比分析等等。19世纪下半叶，德国结构工程师卡尔·库尔曼 (Carl Culmann, 1821-1881) 对力学图解方法进行了系统化的整理和发展，于1866年（该年份参考铁木辛柯，其它资料有出入）写出了《图解静力学》（德文：Die Graphische Statik，英文：Graphic Statics），标志着图解力学作为一门知识学科正式建立（孟宪川，图解静力学简史，2012）。
图4 库尔曼与他的图解静力学来源：网络
与之前的图解法相比，库尔曼对图解静力学进行了系统、生动、纯熟的解释，极大的推动了图解法的推广应用。他的学生里有因实践图解静力学而享誉世界的工程师，也有继续进行相关研究的学者，他深深的影响了随后几代工程师和学者，也包括莫尔和他的应力圆。
在《图解静力学》中，库尔曼首先证明了斜面上的应力满足圆的关系，这是在分析梁的弯曲应力时得到的，如图5(a) 所示，在A 点（任意点）处取一微元体Amn，用σx 和τxy表示Am 微面上的应力分量，斜面mn 可任意旋转，用以表示过A 点的各方向平面，则斜面mn 上的应力分量就代表了A 点应力状态的各种分量表示。
图5 库尔曼应力圆来源：网络
从这里可以看出，库尔曼在梁上取的三角形微元体，很像《材料力学》中分析任意斜面上应力的三角形微元体，如图6所示。
图6 三角微元的应力分量与几何关系来源：网络
写出图6微元体的平衡方程，为
求解斜面上的应力分量，则有
考虑上面第1式和第3式，有
两边平方后，叠加上面两式整理后，得
这就证明了在二维情况下，斜面上应力分量可表示为一个圆。库尔曼证明并提出了应力圆，但他做应力圆的方法和莫尔还有很大的不同，而且库尔曼从应力圆 (Circle of stress) 上分析得到的结果也不如莫尔的丰富。
为了作出应力圆，库尔曼先建立一个坐标系xy，以 (σx, τxy) 为坐标画出一点a，然后过a 点作水平线交y 轴于b，再作a 点关于x 轴对称的a1 点，连接ba1，则以为直径ba1 作出的圆即为应力圆。
库尔曼指出，任意斜面上的应力分量均可由该圆上的坐标给出；该圆与x 轴的两个交点e 和d 代表了两个主应力；他还证明了最大剪应力的值为圆半径，且其作用平面将平分主应力平面间的夹角。有了库尔曼应力的基础，莫尔应力圆几乎就要呼之欲出了。
1882年，莫尔在研究库尔曼应力圆的基础上，给出了自己的应力圆作图法。考虑下面表示的应力状态。
图7 莫尔的微元体分析法来源：网络
莫尔首先对切应力的正负进行了定义：
正应力引起微元体绕中心顺时针旋转。
(Positive shear would cause a clockwise rotation of theinfinitesimal element about the element center.)
这样，利用图7微面上应力分量构造两点的坐标B (σx, -τxy) 和A(σy, xy)，并将其绘制在σn-τn 坐标系内，如图8所示。则AB 连线即为应力圆的直径，依据该直径可绘出莫尔应力圆。
图8 莫尔应力圆来源：网络
从莫尔应力圆，可以看出最大主应力（切应力为0，圆与σn 轴的交点），最大切应力（圆的半径，可计为 (σ1-σ2)/2，该面上正应力为σavg=(σ1+σ2)/2）。此外，莫尔还给出了斜面旋转时，其转动角θ（见图7）与应力圆上坐标点旋转角度之间的关系，即斜面旋转θ，应力圆上旋转2θ，如图8中C、D、E斜面所对应于应力圆上各点与斜面旋转角度之间的关系，利用这一关系可以方便的找出主应力平面所在方向。
除了二维情况，莫尔还给出了三维情况下的应力圆作图法，如图9(d) 所示应力圆，在绘制三维应力圆时，需要先求出主应力σ1，σ2，σ3，然后在σ 轴上分别标出三个主应力，然后分别以σ1 和σ2 为直径，以σ1 和σ3 为直径，σ3 和σ2 为直径做出三个圆。
图9 三维莫尔应力圆来源：网络
单独看三个应力圆，以σ1 和σ2 为直径的圆表示微元体绕σ3 旋转时的各种应力表达，其最大切应力为 (σ1-σ2 )/2，如图9(a)；以σ1 和σ3 为直径的圆表示微元体绕σ2 旋转时的各种应力表达，其最大切应力为 (σ1-σ3)/2，如图9(b)；以σ2 和σ3 为直径的圆表示微元体绕σ1 旋转时的各种应力表达，其最大切应力为 (σ2-σ3)/2，如图9(c)。从图中很容易看出，最大切应力为最大圆上的 (σ1-σ3)/2。莫尔还证明了与三个主轴都相交的平面上，应力分量所表示的点全部都落入三维应力圆的阴影区域。
1900年，依据应力圆，莫尔还提出了他的强度理论。1864年，特雷斯卡 (Henri Tresca, 1814-1885) 已经给出了判定金属材料屈服的最大切应力强度理论，认为当材料中的最大切应力达到临界应力时，材料将发生失效。事实上，当时人们采用的强度理论都是这样，选定一个指标量，然后通过判定该指标量是否超过临界值，超过即为材料失效，如最大拉应力理论，最大线应变理论，以及最大切应力理论都是这样，莫尔强度理论则有些不同。
类似于最大切应力准则，莫尔也假定了材料发生破坏的平面为最大切应力平面，但又不仅仅只与切应力有关，还与该平面上的正应力相关。对于各种应力状态下的应力圆，莫尔只考虑最大圆，即足以使材料发生破坏的应力圆，莫尔称之为主圆，在各种加载条件下，如纯拉伸（圆I）、纯压缩（圆II）、纯剪切（圆III）画出三个圆，如图10所示。然后作出主圆的包络线，应力圆的所有部分都不应该超过该包络线。这样，该包络线就成为莫尔强度准则的判定依据：在任何应力状态下，如果应力圆的任何一个部分超过包络线，则材料将发生失效。
图10 从应力圆到莫尔强度理论（铸铁试样）来源：材料力学史
莫尔建议只用纯拉伸和纯压缩绘制包络线，如上图中，利用纯拉伸和纯压缩应力圆，可以求得纯剪切时的最大切应力为：
对于更为一般的应力状态，如图11所示的圆O3。
图11 一般应力状态示意图应力圆O3 所示来源：网络
欲确定应力圆O3 的最大切应力，则需用相似三角形定律，即
这里，有
将上上代入上式中，可得
如果考虑安全系数，相当于包络线缩小一下，上式变为
值得一提的是，与第三强度理论相比，莫尔强度理论与实验结果具有较高的一致性，从而得到了工程界的认可。当然，莫尔强度的推广还因为它避免了繁琐的数学计算，用图形的方式形象直观的告诉给工程师们设计要求，使得人们一旦见到就很难忘记。
参考文献：
铁木辛柯.材料力学史. 上海科学技术出版社.
孟宪川, 赵辰. 图解静力学简史. 建筑师, 2012(6):33-40.
Mohr’sCircle. MATERIALS AND STRUCTURES - #M-6. MIT, Unified (16.001/16.002).
https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/materials/documents/HO-M-6(Mohrs)(08).pdf
维基百科. 库尔曼. https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Culmann
https://leancrew.com/all-this/2012/10/mohrs-circle-and-the-march-of-time/
来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。
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