力学解析：为什么大汽车的后排比前排颠簸
一位老年妇女患了骨质酥松症。就是说，她的骨骼的强度发生了问题。医生告诉她，走路要注意不要跌倒，否则就容易骨折。坐大汽车时还要注意要尽量坐在车的前排，否则由于汽车的后排座比较颠簸，轻者容易晕车，重者易于造成脊柱的压缩骨折。汽车的后排座比较颠簸，这是许多人都注意到的事实。但是其中的道理是什么，却需要仔细思考，特别是从力学的角度来加以讨论。为了把这个问题说得比较清楚，我们分以下几步来讨论。
1. 汽车的重心是靠近车的后轮的
通常的大型客车，大多是由后轮驱动的。就是说，发动机驱动后轮旋转，靠后轮和地面的摩擦力推动车辆前进。
为了使后轮和地面有足够的摩擦力，汽车的重心必须靠近后轮。汽车的重心如果不靠近后轮，在刹车时，由于惯性力，前轮对地面的正压力就要比后轮大，后轮驱动时得到的摩擦力也就小，这是不利于汽车的驱动的。另外，若后轮的摩擦力小，在急刹车的时候后轮不能提供足够的制动力，这是相当危险的。
也许人们会问，把汽车的重心放置在后轮上面，不是对汽车的驱动更为有利吗？不能，考虑汽车的驱动只是一方面的因素。在设计汽车时，还要考虑到驾驶的稳定性。特别是当汽车作紧急刹车时，汽车运动的稳定性。
我们首先来看如图1所示的直立在平面上的细长圆柱。在重力作用下，它很容易倾倒。这是因为作用在它的重心C 的重力与在底部A 的支撑反力一般是互相平衡的。如果使细柱倾斜一个角度，作用在C 的重力向下延伸超出底面积A，则圆柱便会倾倒，因为这时支撑力与重力形成的力矩会使圆柱继续倾倒。
图1 直立在水平面上的圆柱
应当注意的是，在图1直立的圆柱上，重心C 愈低，便愈是稳定。这是因为在重心 C 比较靠近A 时，圆柱倾斜一个很大的角度作用在C 的重力向下延伸才会超出底面积A。
现在我们来考虑汽车。汽车在紧急情况下需要刹车，这时一般会将前后轮都刹死，使它们不再转动，靠地面和车轮之间的摩擦力使汽车减速直到停止运动。在设计汽车时总是要考虑到最不利的情况，如果这时汽车的后轮恰好处在摩擦力很低的地方，比方说在冰上。阻止汽车前进的力只有前轮和地面之间的摩擦力了。在这种情况，我们可以把汽车简单地看作图1上的圆柱，前轮好比圆柱的支撑处A，而汽车的前进减速的惯性力相当于作用在圆柱重心C 处的重力，它是作用在汽车的质心处的，亦即在重心C 的。汽车刹车情形与图1圆柱的差别仅在于，汽车是水平的，圆柱是垂直的。
汽车的前后轮的距离，即轴距相当于上面说的柱体的高度。既然为了稳定直立的柱体不可过高，同样，要使汽车行驶稳定，汽车的轴距也就应当适当短一些。另外轴距适当缩短还有一个附带的好处，就是转弯比较灵活。
对于后轮驱动的汽车来说，由于汽车的发动机安置在汽车的前面，发动机是比较重的，要使汽车的重心靠近后轮，也必须使后轮前移才能满足这一要求。
实际上，如果汽车的重心设计得过分靠近后轮，在急刹车时就不应当或尽量少使用前轮刹车。一方面由于前轮承担的重量小，刹车时能够提供的摩擦力也小（在紧急刹车时，由于重心有一定高度制动的惯性力能够增加前轮与地面的正压力，从而增加摩擦力）；另一方面，这时如果两个前轮的摩擦力稍有不同，例如一个轮子下面有冰，则汽车在惯性力与摩擦力作用下就会打转而横在公路上，这是十分危险的。为了解决这一问题，汽车的重心就不可以设计得过分靠近后轮，而要适当往前移。
为了使汽车的重心适当靠前又要使重心靠近后轮，这就要把后轮的位置适当前移。使得汽车刹车时有足够的稳定性，又使后轮产生较大的摩擦力。所以通常大客车的后轮一般安置在离尾端大约是车长的1/4处。这个1/4车长一般称为车的后悬；一般前轮也不是安置在车的前端，而是离前端有一段距离称为前悬。一般大小客车大约车长为12米左右，而前后轮的距离（轴距）大约是7米左右。
总之，考虑到汽车刹车的稳定性的要求，还要考虑汽车后轮能够提供汽车前进的足够的摩擦力。汽车的重心距后轮为1/3轴距处。这样安置，后轮承担车重2/3，而前轮承担车重的1/3。
2. 前轮和后轮通过相同的鼓包时后轮更容易跳起来
如前所说，通常汽车的重心是靠近后轮的。在汽车的重心靠近后轮的前提下，我们来讨论道路上有同样一个鼓包，汽车的前轮和后轮通过它会有什么不同。
为了不使问题过于复杂，我们对问题进行简化。把汽车看作一块矩形薄板的刚体。令C 是它的重心，它与前后轮的距离分别为a 和b，由前面的讨论，a 是大于 b 的。令汽车的总质量为M，它相对于重心C 的转动惯量为J。由平行移轴公式，我们可以得到
图2 汽车前后轮过同一个鼓包的示意图
汽车相对于前轮A 的转动惯量
汽车相对于后轮B 的转动惯量
现在我们假定如图2汽车从右向左行驶，在道路上有一个鼓包。不妨令鼓包是球形的，其半径为ρ。汽车前轮过鼓包时的速度为vA，后轮过鼓包时的速度为vB 。由此前后轮过鼓包顶点时，前后轮的向下的加速度分别为vA2/ρ 和vB2/ρ。
设汽车在前轮和后轮经过鼓包时，分别要绕后轮和前轮旋转。令汽车绕前轮旋转时的角速度为ωA，绕后轮旋转时的角速度为ωB。则我们可以把这两种转动的定轴转动微分方程列出为：
绕前轮转动
绕后轮转动
式中，FNB、FNA 分别为作用在后轮和前轮上向上的反力。左边括弧内的第二项是对应轮子过鼓包时由于鼓包而形成的角加速度。
现在我们来讨论绕前轮转动时的一个特别的情形，当后轮跳离地面时，显然这时地面对后轮的反力FNB 是等于零的。这时，如果dωA/dt>0，则后轮在离地后会继续跳起。我们考虑后轮起跳的临界情形，即dωA/dt=0的情形。就有
从这个条件中解出vB 来得到
同理得
式中，i 为汽车的惯量半径。即有J=i 2M。
上面得到的vB 与vA 的表达式中右端的第二个根式是共同的。而前一个根式中在a 大于b 的条件下（汽车重心后置），如果还有i2<ab 则有
就是说，在越过相同的鼓包时，后轮在较低的行驶速度vB 下就会跳离地面，而前轮跳离地面的行驶速度vA 要大。
现在我们来证明在a 大于b 的条件下（汽车重心后置），如果还有i 2<ab 则有
由于在上述条件下有(a-b)(ab-i 2)>0，展开即
移项两端并被大于零的式子来除，由此可得
至于条件i 2<ab，我们可作如下的假定。令汽车的质量均匀分布在轴距之间，这样假定大致上是合理的，这是因为汽车的主要质量是发动机和传动系统以及底盘，汽车的顶部结构是比较轻的。这样，汽车可以近似看作长为轴距l=a+b 的一根棒。它的重心在棒中点，其惯性半径为
令a=l/n，则ab=n-1/n 2l 2。条件i 2<ab 即是1/12<n-1/n 2即
这个式子只有在n 处于左端二次式的两个根之间才会成立。而中两个根可以近似求得为1和11，前者要求汽车的重心处于汽车的后轴上，而后者要求汽车的重心非常接近前轴，这都是不可能的。所以，我们要求的条件是满足的。
由于重心后置，后轮的钢板弹簧比较硬，上下颠簸的加速度比较大。
3. 汽车较大的后悬尺寸使后排座的颠簸放大
在上一节我们讨论了当汽车以相同的速度行驶时，前轮和后轮经过同一个鼓包，前轮起跳的速度比后轮起跳的速度要小。即是说，前轮贴着地面行进的速度下，后轮可能跳离地面，所以坐在汽车的后面比坐在前面要颠簸。
这还只是一方面的原因。其次一个原因，是我们前面说的汽车的重心要适当靠前。为此汽车的后轴一般不是安置在汽车的后端，而是留出一段后悬。这就更加剧了后排座的颠簸。
图3 汽车的后排座示意
如图3我们来考虑汽车在过鼓包时，后轮跳离地面。整个车是绕前轮旋转，不妨设这时后轮起跳的高度为h1，我们来计算坐在汽车后排D的乘客起跳的高度h2。显然我们应当有h1/a+b=h2/a+b+c，即有
由于右端的分数分子总是大于分母的，所以坐在后排的乘客感觉到的颠簸比坐在后轮上部的乘客感觉颠簸得还要厉害。
上面得到的公式，不仅对后轮跳离地面的高度的放大是适用的，而且对于后轮没有跳离地面，仅是由于地面的不平，后轮的起伏高度的放大作用也是适用的。
4. 结语
通过以上的讨论，我们可以明确地说，大客车的后排是比前排要颠簸。这首先是由于汽车的重心和车轮位置的安排造成的，而这种安排是汽车的驱动和稳定性的要求造成的；其次，后排比前排颠簸，也是由于为了使驾驶员有一个较为舒适的环境的需要。一辆汽车上各个位置上都处于同样颠簸的程度，虽然也大致能够做到，但那样驾驶员就比较容易疲劳，更易于发生驾驶危险。
弄清楚了汽车后排比较颠簸的道理，我们就可以理解那位医生建议骨质酥松的患者尽量坐在汽车的前排是很有道理的。并且如果在汽车上还运载一些易碎的和贵重的仪器等物品时，如鸡蛋、测震仪等，也应当把它们装在车的前面，以保护它们。
来源：力学与实践微信公众号（ID：lxysj_cstam），作者：武际可 郝莉。
页:
[1]