豆荚弹射传播种子中的力学 ：螺旋魔术
01、力学模型 我们知道，物体各部分均匀收缩时不会引起应力，因此由豆荚的变形可以抽象出图1所示双层各厚t/2 的弹性薄片正交(即互相垂直)单向收缩的模型(收缩没有画出)。不失一般性，设上层沿左右方向，下层沿前后方向发生了相同的收缩。图1沿虚线剪下的宽w 的条代表豆荚变形的力学模型，对于实际豆荚，大约θ=45°。图1 豆荚变形的力学模型
图1所示的力学模型看上去非常简单，但它在无生命的自然界很难自发出现，是生命智慧的大手笔的创作，蕴含着自然深层次的力学和数学原理。但是我们不打算像科学家一样，采用相对深奥的变形非协调弹性力学 (incompatible elasticity) 和张量的数学工具进行研究，而是借助基本力学原理和初等几何相关知识，试图开启一扇窗口，引导读者去领略一下其中神秘美妙的科学风光。
为了便于理解，先考虑一个更简单的模型：仅上面薄层左右单向收缩。这时前后方向变形相同，可以截取一个弹性条研究。见图2，考虑一个力的等效变换。
图2 仅上层单向收缩的模型及其等效力学变换
首先设两层没有粘结，上层自由收缩(图2a);然后对上层施加一对拉伸外力，同时对下层施加一对与之大小相等的压缩外力，使两层长度变为相同，在此状态下将两层粘合(图2b);最后卸去外力。卸去外力引起的变形等效于反向施加一对大小等于Ft/2 的外力偶引起的变形(图2c)。可见，仅一层单向收缩的结果是形成一个圆柱面。
回到图1所示双层结构在正交方向同时单向收缩的情形。容易想到，它相当于两薄圆柱面背对背正交“强制”粘合，其变形结果即所谓非协调变形。
在图3两弹性层“强制”粘合后，上层内力试图恢复开口向上的圆柱面，下层内力试图恢复与上层垂直的开口向下的圆柱面，上下两层角力的结果是形成残余应力(又称预应力)。残余应力弹性体有一个重要特点：切开时会释放部分残余应力，平衡状态变化，形状改变。豆荚弹射籽粒的运动就是对残余应力的巧妙运用，它使自身成了“变形魔条”。
02、“变形魔条” 从图1(也参见图3)的力学模型剪下一个小圆片，这时上下层的角力势均力敌，于是形成图4的类鞍形曲面，其中所画的两组正交的曲线表示两个主曲率方向(对应两薄层在左右和前后收缩的方向)。
图3 双层弹性薄片在正交方向同时单向收缩相当于两个圆柱面的正交“强制”粘合
但是当剪下的部分很大时，这种类鞍形面的形态不再稳定，或者是上层内力起主导作用，弯曲成上层一样的圆柱面;或者是下层内力起主导作用，弯曲成下层一样的圆柱面。究竟怎样弯曲，由初始条件确定。我们可以施加一个外力，使之弯曲方向转换。也就是说，物体有两个平衡状态，我们称之为双稳态平衡。
无论是双稳态平衡的圆柱面还是图4的类鞍形曲面，都与豆荚的螺旋面在形状上相差甚远，这或许是豆荚的变形机制迟迟没有被揭示的原因。
图4 剪下的小圆片形成的鞍形面
我们不能不惊叹豆荚运用残余应力的惊人“创造力”：它发现了θ=45°的裁剪方式，将自身设计成“变形魔条”。根据科学家的研究，裁剪θ=45°的条的变形可以由残余应力引起的应变能确定。应变能包括面内拉压应变ES 和弯曲应变Eb：
式中“~”表示近似成正比t、w、κ0 分别是条的厚、宽和参考曲率(参考曲率可以由沿主曲率方向剪下一非常窄的条测定)。根据最小能量原理，在残余应力体所有可能的形状中，实际形状对应于应变能的最小值。于是，条的形状变化归结到拉压和弯曲应变能的竞争。当拉压应变能占主导地位时，条的形状为一个圆柱面螺旋(图5左);当弯曲应变能占主导地位时，条的形状为一个纯扭转螺旋(图5右)。
图5 圆柱面螺旋与纯扭转螺旋
由于拉压应变能与条宽w 的5次方成正比，而弯曲应变能与w(的1次方)成正比，因此宽条变形由拉压应变能主导，螺旋面轴线位于一个圆柱面，半径为
式中，V 是泊松比。螺旋面轴线升角(等于裁剪角θ= 45°)，因而螺距
窄条变形由弯曲应变能主导，纯扭转螺旋的轴线为直线，这时
从拉压应变能主导的圆柱面螺旋到弯曲应变能主导的纯扭转螺旋，有一个临界条宽。令拉压应变ES 等于弯曲应变Eb，我们得到临界条宽(略去了一个比例系数)：
研究表明，从圆柱面螺旋到纯扭转螺旋的变化是连续的，但是过渡区间很小，是一个急剧的变化。
可以从没有残余应力的相同尺寸的圆柱面裁剪下与图5左相同的宽条，两者在外形上难以分辨，但是在力学性质上却有质的区别。我们不妨设计一个小魔术来说明它们的区别：
制备这样两个外形相同，即都是圆柱面螺旋的宽条，其中一个条有残余应力，一个没有。让两位观众检查，确认二者相同。然后仿照魔术师故弄玄虚，口中念念有词，对着一个条吹口“仙气”，叫声“变直”，再让这两位观众分别从宽条上剪下一窄条。“魔法”应验了：吹了“仙气”的那个圆柱面螺旋剪开后轴线变直了，成了纯扭转螺旋，而另一个剪开后轴线依然保持原来的圆柱面螺旋形状。
豆荚的自身设计服务于物种繁衍的需要(弹射传播种子)，裁剪θ=45°是它的最佳选择。那么改变裁剪角的大小会改变豆荚的形状么?条的形状究竟由什么参数确定呢?根据上式定义无量纲条宽：
科学家发现条的形状由两个无量纲参数θ 和控制。图6是条的形状随θ 和的变化图。
图6 条的形状随θ 和的变化
为了便于描述，定义无量纲螺距与无量纲半径如下：
图6表明，对于窄条，当θ=0° 和 90°时，条像蛇一样盘缠。从 0° 到 45°，条从盘缠逐渐向上伸展成为螺旋，螺距逐渐变大，到θ=45° 达到最大值;半径逐渐变小，到θ=45°变为0，这时条由圆柱面螺旋变为纯扭转螺旋。从45°到90°，变化趋势相反，同时内面变为外面。和随θ 的变化见图7，其中离散点表示实验结果。
图7和随θ 的变化
当θ 从90°增加到180°时，条的形状变化似乎在重复从0°到90°的“故事”，但是仔细观察，就会有惊人的发现：螺旋的旋向改变了，即从左手螺旋变为右手螺旋。不经意间，变形魔条向我们揭示了螺旋旋向变化的奥秘：它不取决于材料的内在性质，而是取决于条的几何参数。
具有残余应力的宽条还有一种“魔力”，其圆柱螺旋面的内侧可以翻转成为外侧，并且螺旋的形状不变。无残余应力的宽条没有这个性质。“魔力”从何而来，如何设计一个魔术，我们都留给读者吧。
来源：力学与实践微信公众号(ID：lxysj_cstam)，作者：蒋持平等。
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