从土豆的内伤谈起——漫谈接触问题
家庭主妇们经常抱怨：好端端的土豆，一削皮就露出里边褐黑色的一块块坏斑，待到把这些坏区全削去，一颗土豆便所剩甚小。唉!真可惜。奇怪的是，买土豆时任你怎么挑选，也总是避免不了有坏斑。这种倒霉的“内伤”在苹果、梨等水果中也时有遇到。心细的学过力学的人，不难回答这个问题。原来毛病出在包装运输中。在装车运输土豆时人们总想装得多以提高效率，殊不知装车时的碰撞却给土豆造成许多内伤。装得厚了，压在底层的土豆可就倒了大霉，给压坏了。苹果、梨等水果运输时多用箱子或篓子，每只箱篓的高度较小，所以压坏的要少些，但要是车辆驶过颠簸不平的路面，由于振动加大了压力，处在箱底的水果还是难免遭殃。
主妇们又要问了，压坏的土豆裂的、破的，一眼就能看出来。可又怎样解释一大批表面上是好的却内部受伤的土豆的现象呢?
土豆和水果的“内伤”问题，正好是一个典型的接触问题。
假定相互接触的土豆为两个半径为R 的弹性球，两个球之间作用压力为P。这时接触处由于球的变形已不再是一点，而是一个半径为a 的圆，根据接触问题的理论分析可以算出
在球体内最大剪力应为
而最大剪力不在接触面上，却在距离接触面为
这里，α、β、γ 都是常数。
土豆和水果等许多材料，都可以近似看为在最大剪应力超过一定限度就产生破坏的材料。
上述公式表明，最大剪应力不发生在表面而在深层，而且半径和压力愈大，深度也愈大。实际接触物体形状虽然各式各样，但上述基本规律则是共同的，这就是为什么土豆外表完好而内伤累累的原因。土豆装运只要超过一定高度，总有一大层土豆难逃这种厄运。每年由此而扔掉的土豆和水果以千吨计，所以改善包装和运输条件才是拯救这批土豆的根本办法，学一点接触问题是很有必要的。
在日常生活中我们经常遇到与接触问题有关的现象。
《三国演义》上有一回书说到，张翼德用柳条鞭笞督邮，可以想象那贪赃枉法的督邮被打得皮开肉绽。在《水浒》中，我们又看到粱山好汉落在敌人之手，不免挨多少杀威棒。三国时侯的张飞毕竟是直性子，打人只用柳条，柳条的直径一般是小的，所以引起督邮的伤也便苦不甚深，只不过皮肉之苦而已。宋朝的衙役们可比张飞狡猾多了，棍棒直径自比柳条大了许多倍。受捧者伤在深层，甚至伤筋断骨，而皮肤表面却完好无损。到了法西斯的监狱里，发明了一种用橡皮包着钢丝的刑具，外观柔软，半径又比较大，抽在人身上既不伤筋动骨，外表又看不出异样，但却道受到痛彻骨髓的内伤。这恐怕是反动统治者挖空心思利用科学成果的巧思吧。
擀面，为了把面擀开，面的深部破坏了或者发生了永久变形，面才能擀开。面块大就要用粗的擀扙，而擀饺子皮就必须用细擀扙了。这个道理用在压路机上，你大概注意到压路机的滚子有近一米多直径吧，这就是希望它把路面的深层压得结实。当然，除了半径大之外，压路机还要重。因为压力P 大了，深部的应力也愈大。
在工程技术中，接触问题的应用十分普遍。主要是如下三大类问题：
· 第一类，接触应力造成表面或深层的破裂会引起机器或工程破坏的事故，如轴承、齿轮、滚珠等表面剥落，这时应用接触问题的理论目的是为了要减少这种破裂以避免事故。
· 第二类，利用接触应力进行加工，如轧钢机的轧滚，压力加工的冲头与模具的设计，都要利用接触间题理论结果使被加工物件易于变形，而加工工具却十分耐用。
· 第三类，碰撞问题，车船飞机的碰撞可以看为一类特殊的接触问题，例如高速飞机和空中的飞鸟相撞会引起严重的结构破坏而造成空难。
正由于接触问题广泛存在于工程技术中，所以它一直受到工程师与力学家的注意与深入研究。
历史上最早研究并获得重要进展的是德国人Hertz 在1881年取得的。他假定两个弹性体在接触点邻近为两个二次曲面，在外部正压力下接触面为椭圆。椭圆的形状、接触面的压力分布，以及物体内应力分布都可以表为解析表达式，这个问题称为弹性力学的Hertz问题。我们前面说的两个球接触间题，就是它的特殊情形。
其实，近代提出的接触问题更加复杂。各种不同形状的物体和结构相接触，考虑物体的弹塑性、蠕变及各种物理因素的变化，考虑接触面间的摩擦力和滑动，考虑物体的惯性的碰撞接触问题等等，不一而足。
接触问题经过一百多年的研究，已经能近似解决许多实际问题了，但它仍然存在许多十分困难的问题尚待解决。对于比较复杂的问题，人们往往利用大型计算机去求数值解。即使如此，由于计算量很大，仍然没法很好的解决。举例说，一个均匀的弹性球，从某一高度在重力作用下落到均匀弹性半空间上，它的弹跳高度如何?这个问题看起来是非常简单而又干净的，但请试解一解，它仍然是力学界的难题，更不要说十分复杂结构的碰撞接触问题了。
接触问题之所以困难，是由于它实质上是一类非线性问题。我们知道经典弹性力学大部分是线性的，线性弹性问题的提法是在给定边界上、应力或位移为已知的条件下，求解一组弹性力学线性方程。而在接触问题中，接触边界的应力位移是待求的，甚至接触边界的形状也是待求的，而边界上的位移和应力以及边界本身又依赖于问题在物体内部的应力与位移。这种困难问题，随着工程技术的发展不断提出新的挑战，迫使人们去进行更深入的研究。
它构成了弹性力学、结构力学和计算固体力学各个分支学科交叉研究的热点课题，同时还吸引了不少数学家的注意。
来源：力创空间微信公众号(ID：mechanics786)，作者：武际可 北京大学力学系。
好文章。机械结构设计方面有许多既古老又尚待解决的问题，可惜真正重视的人不多，很多都是“差不多”就行了。
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