为什么最好对你的设计进行振动特性分析？
设计师通常是以没有时间或者只关心实物试验为借口，从而很少对自己的设计进行分析计算。只有在担心设计可能会因为巨额成本或者高危工况失败，造成很大损失时，才会考虑进行相应的分析计算。有时根据潜在的失效模式及影响的大小，对分析计算的需求还有相应的变化，认为有些小问题可以不用在分析计算中考虑。但是随着现在OEM厂商和消费大众对产品的严苛要求，分析计算变得越来越重要。如果你对自己的设计进行了静力分析，可能会对自己的分析结果很满意：定义了载荷和边界条件，根据平滑的结果云图中大部分是蓝色和灰色，几乎没有红色出现，然后判定分析结果还挺成功。但是，请想象一下，一个大型振动马达或者工厂的机器在12.5Hz固定频率下振动会出现什么情况?或者说，你设计了一个电子设备安装箱，需要固定在地震多发区的一个建筑物上面，你的老板想知道这个安装箱是否能够承受住地震的振动，你怎么回答?不论什么情况下，如果你只对静力计算有把握，那其他的怎么办呢?
在文章中，我们将简要回顾动力学分析基础，并介绍怎样进行简单的分析，来确保你的设计在动力学工况下依然保持正常，不管是简单的振动，地震，还是火箭发射。
其实没那么复杂 对于大多数从事分析工作的人来讲，静力分析非常简单。基本流程也很清晰：施加载荷，检查结果中的静力响应(只要给定的材料是线性的，结果通常也是线性的)，然后得到漂亮干净的应力和变形结果。虽然在分析过程中可能会出现一些难点，但是最终的计算结果还是和我们所设想的比较一致。
结构的动力学响应也差不多类似，只要稍微改变一下我们的观点，并想象在振动工况下结构会怎样自然的变形。结构在受到冲击或者随时间变化的荷载(瞬态或稳态)作用下，本身会呈现与载荷相关的特征响应。如果荷载不是巨大质量冲击，结构受到作用后也没有发生爆炸或塑性变形，那么这个结构的动力学响应就很有可能是线性的。也就是说，如果载荷卸去之后，结构可能会恢复原状，慢慢回到原来未变形的状态。这一点与线性静力分析原理一致：当卸载后，结构应力恢复为零。
我们所说的特征动力学响应具体是指的什么?所有结构都有自然或特征振动模态。吉他弦发出的声音或音调，就完全取决于弦本身的自然振动频率。另外一个例子是铝制的棒球棍。最好的棒球棍能够避免在击打棒球时发生振动，它的设计原理就是使特征振动频率远离击球时球棍所发出的振动频率。每个频率都会使球棍产生一个物理变形，总的动力学响应就非常复杂，如图1，图2所示。
图1 NCAA铝制棒球棍的一阶模态振型
图2 NCAA铝制棒球棍二阶模态振型
在FEA中这些自然频率叫作特征值，它们的振型叫作特征向量或特征模。这个术语出自德语，意思是特性或者特有的，以便和19世纪中期数学中的相关术语保持一致。在动力学分析中，也会使用简正模态 (normalmodes) 和简正模态分析 (normal modes analysis) 等相关术语，这里的“简正 (normal)”只是自然频率，特征频率或固有频率的另外一种说法。当我们描述振型时，通常更倾向于使用简正模态这个术语，因为它们表示结构固有的自然响应。
例1：简支梁
当我们画出一个简支梁，简支梁一端固支，它的自然模态振型已经由它的几何结构确定，它的运动频率由自身的刚度和密度确定。图3和图4给出了这个梁的前三阶模态，它们总是成对出现，包括了梁的所有运动形式。在3D结构中，一阶模态可以在纵轴360度范围内振动。数值解中本征求解过程只给出了两个正交模态解，但实际上是指的360度范围内的所有正交解。
所有的结构都几乎有无限个可能的振型和本征值或本征模态，幸运的是，只有有限个低阶频率主导着整体结构的响应，所以可以忽略一些高阶频率。通常来讲，前三阶模态包含了结构响应的绝大部分，因此可以安全忽略其他高阶模态。
模态频率取决于梁的刚度和密度，由以下公式计算而得：
其中，K是结构的刚度，m是结构的质量。这个简单的公式给出了关于系统的大量信息。图形化描述这个方程的经典方法是，用一个带有质量块的弹簧结构，质量块只能够上下移动，或者用FEA的说法是只有一个自由度，这个系统的本征模态就是上下运动。
图3 无扰动简支梁，以及两个不同方向的一阶模态振型
图4 简支梁中成对出现的第二和第三模态振型
例2：造纸机设计
在实际商业产品结构中，前面所提到的公式同样适用，结构的本征值仍然由下式确定。
以造纸机的成型板为例，这个结构有10m长，材质为不锈钢。造纸机工作频率在9Hz左右，如果成型板的自然频率在工作频率附近，则会很快发生共振，并发生撕裂。更严重的是，成型板的撕裂会连带数百万美元的造纸机报废(见图5、图6)。
图5 造纸机成型板的一阶振动模态
图6 造纸机成型板的二阶振动模态
初始设计的相关参数使结构的一阶模态为8.4Hz，如果采用这个设计，将会出现严重的后果。成型板材质为9.5mm厚的不锈钢板，所以我们的初始想法是增大不锈钢板的厚度。但是随着板厚的增加，结构质量也在增大，几乎和刚度增大保持同一步调。最后得到的改善很微小，当板厚增大到25mm时，整个结构刚度的共振频率大约提高到11Hz，这种方法经济成本显然过高。
此时我们返回原点，考虑如何增加细长结构的刚度。我们发现在成型板的上下表面之间几乎没有剪力传递结构，这个发现使我们可以布置对角钢筋来连接上下两个板，并且能够保证板的厚度为9.5mm。新设计经过计算得到一阶模态频率为13Hz，使得成型板的固有频率明显高于造纸机的工作频率，避免了结构共振，使得整个系统达到动力学上的平衡。另外，更薄的板(没有使用25mm，而是9.5mm)意味着相比第一种改进方案，后期的改进方案成本至少节省一半。
考虑动力荷载 当一个结构受到瞬态或随时间变化的激励时，比如一个电机发出呈稳定正弦变化的荷载，如果结构的固有频率远低于或高于激励频率，那么这个结果的响应就像是受到静力加载一样。举例来说，一个结构的固有频率为10Hz，受到了一个10Hz半正弦瞬时载荷冲击，可以预料到结构受冲击后会发生振动，随后逐渐恢复到静态零应力状态。但是，如果结构受到的动力载荷随时间变化，比如10Hz正弦加载，那么这个结构就会发生共振。如果结构中几乎没有阻尼，比如金属或刚性塑料结构，我们就会观察到引起失效的原因是经典的谐共振现象，1940年塔科马海峡大桥坍塌就是因为谐共振现象，当桥结构不断受到激励载荷作用时，最终发生了最严重的共振作用。消除共振作用的有效方法是将你的结构自然频率设计为低于或高于它的工作频率，这也是固有频率分析的主要原因。
其中的数学原理 在之前的讨论中我们没有提到本征模态的幅值，只提到了它的频率和振型，但是没有提到关于幅值的描述。在本征模态分析中，不需要对结构施加载荷，但是没有载荷的作用，就不可能对实际中的本征模态做出预测。对本征模态或可能的变形模态的提取涉及到很多数学知识，在大量的教科书上面都有详细的讲解，核心思想是我们需要求解动力学方程：
如果阻尼可以忽略，外力f(t)为0.0，则上述方程可改写成更容易求解的方程：
本征模态分析中这是一个关键方程，表明对于结构的自然模态来说，决定因素只是质量和刚度。
如何求解这个方程，可以参考你的数学教科书。讨论的要点是结构的固有频率可以简写为下面的方程式：
因为在本征值的计算中没有使用力，所以最终求解的本征模态单位为无量纲。使用FEA软件求解时，FEA软件会对本征模态进行相应的缩放，以保证每个模态振型中的最大位移接近1.0，或者与某个与结构质量相关的参数。当这些本征模态在FEA软件中显示出来的时候，我们会发现软件也给出了虚部值，这种可视化方案对于第一次接触动力学本征分析的新手来说，可能比较难以理解。
模态分析基本的检查清单 确定结构的加载类型，载荷是否可能会引起共振。尽量确定载荷的加载频率，确保它们在计算结构的固有频率之外。
进行本征分析，检查前三阶简正模态频率，确定它们是否在危险区域范围内。如果简正模态频率在加载频率范围之外，可以结束计算，你的结构在动力学方面很安全。如果简正模态频率落在了你所关心的频率区域范围内，并且相关结构也不能够进行重新设计，即使出现一些共振，也不至于完全不能接受。
来源：学点动力学公众号，原文翻译自网络资料
作者：路上工程师
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